Chủ đề này có 1 trả lời

[elroja]

1) $2^{\left | sinx \right |}+2^{\left | cosx \right |}\geq 3$ với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$

2) $sin^{2n+2}x$ $cos^{2n}x$ $\leq \frac{(n+1)^{n+1}.n^{n}}{(2n+1)^{2n+2}}$ với $n$ thuộc N* ( k biết type N* )

 

[25 minutes]

1) $2^{\left | sinx \right |}+2^{\left | cosx \right |}\geq 3$ với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$

Đặt $\left | \sin x \right |=a\Rightarrow \left | \cos x \right |=\sqrt{1-a^2}$

Bất đẳng thức đã cho trở thành $2^{a}+2^{\sqrt{1-a^2}}\geqslant 3, a \in \left [ 0;1 \right ]$

Xét $f(a)=2^{a}+2^{\sqrt{1-a^2}}- 3$

$\Rightarrow f'(a)=2^a \ln 2-\frac{\ln 2.a.2^{\sqrt{1-a^2}}}{\sqrt{1-a^2}}$

$\Rightarrow f'(a)=0\Leftrightarrow 2^a-\frac{a.2^{\sqrt{1-a^2}}}{\sqrt{1-a^2}}=0\Leftrightarrow \frac{2^a}{a}=\frac{2^{\sqrt{1-a^2}}}{\sqrt{1-a^2}}\Leftrightarrow a=\sqrt{1-a^2}\Leftrightarrow a=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Lập bảng biến thiên của $f(a)$ ta thấy $f(a)\geqslant \begin{Bmatrix} f(0);f(1) \end{Bmatrix}=0$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $\left | \sin x \right | \in \begin{Bmatrix} 0;1 \end{Bmatrix}$