Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
$\left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{x^{2}+1})(y+\sqrt{y^{2}+1})=1\\ 3\sqrt{2+x}-6\sqrt{2+y}+4\sqrt{4-x^{2}}=m+3y \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{x^{2}+1})(y+\sqrt{y^{2}+1})=1\\ ... \end{matrix}\right.$
1 Bình chọn
Bắt đầu bởi hihi2zz, 14-08-2013 - 09:58
hpt hệ phương trình tìm m bài toán chứa tham số
#2
Đã gửi 14-08-2013 - 10:24
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
$\left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{x^{2}+1})(y+\sqrt{y^{2}+1})=1\\ 3\sqrt{2+x}-6\sqrt{2+y}+4\sqrt{4-x^{2}}=m+3y \end{matrix}\right.$
Lời giải. Điều kiện $-2 \le y \le 2, -2 \le x \le 2$.
Từ phương trình thứ nhất ta dễ dàng suy ra $x+y=0$ hay $x=-y$. Thay vào phương trình thứ hai ta được $$\begin{aligned} & 3 \left( \sqrt{2-y}-2 \sqrt{2+y} \right) +4 \sqrt{(2-y)(2+y)}=m+3y \\ \Leftrightarrow & 3 \left( \sqrt{2-y}-2 \sqrt{2+y} \right) - \left( \sqrt{2-y}- 2 \sqrt{2+y} \right)^2 =m-10 \\ \Leftrightarrow & \left( \sqrt{2-y}-2 \sqrt{2+y}- \frac 32 \right)^2= \frac{49}{4}-m \end{aligned}$$
Đặt $\sqrt{2-y}-2 \sqrt{2+y}=a$ thì theo điều kiện của $y$ ta suy ra $-4 \le a \le 2$.
Đến đây chắc dễ tìm được điều kiện của $m$.
- Trang Luong và bachhammer thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#3
Đã gửi 14-08-2013 - 10:30
duongtoi
-
- Thành viên
-
- 747 Bài viết
Thiếu úy
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
$\left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{x^{2}+1})(y+\sqrt{y^{2}+1})=1\\ 3\sqrt{2+x}-6\sqrt{2+y}+4\sqrt{4-x^{2}}=m+3y \end{matrix}\right.$
Ta có $x+\sqrt{x^{2}+1}> 0$ với mọi $x$.
Từ PT thứ nhất ta có $x+\sqrt{x^{2}+1}=\frac{1}{y+\sqrt{y^{2}+1}}$.
Khảo sát hàm số $f(x)=x+\sqrt{x^{2}+1}\Rightarrow f'(x)=\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}>0$
nên hàm số đồng biến với mọi $x$.
Khảo sát hàm số $g(y)=\frac{1}{y+\sqrt{y^2+1}}=\frac{1}{f(y)}\Rightarrow g'(y)=-\frac{f'(y)}{f^2(y)}<0$
nên hàm số nghịch biến với mọi $y$.
Do đó $f(x)=g(y)\Leftrightarrow x=-y$
Thay vào PT thứ hai ta được $3\sqrt{2+x}-6\sqrt{2-x}+4\sqrt{4-x^{2}}=m+3x$
$\Leftrightarrow 4\sqrt{4-x^{2}}+3\sqrt{x+2}-6\sqrt{2-x}-3x=m$
Khảo sát hàm sô $h(x)= 4\sqrt{4-x^{2}}+3\sqrt{x+2}-6\sqrt{2-x}-3x$ trên đoạn $[-2;2]$.
Từ đó kết luận dc $m$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duongtoi: 14-08-2013 - 10:32
- Star Brand yêu thích
Facebook: https://www.facebook...toi?ref=tn_tnmn or https://www.facebook...GioiCungTopper/
Website: http://topper.vn/
Mail: [email protected]
#4
Đã gửi 15-08-2013 - 18:02
hungnp
-
- Thành viên
-
- 31 Bài viết
Binh nhất
Ta có $x+\sqrt{x^{2}+1}> 0$ với mọi $x$.
Từ PT thứ nhất ta có $x+\sqrt{x^{2}+1}=\frac{1}{y+\sqrt{y^{2}+1}}$.
Khảo sát hàm số $f(x)=x+\sqrt{x^{2}+1}\Rightarrow f'(x)=\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}>0$
nên hàm số đồng biến với mọi $x$.
Khảo sát hàm số $g(y)=\frac{1}{y+\sqrt{y^2+1}}=\frac{1}{f(y)}\Rightarrow g'(y)=-\frac{f'(y)}{f^2(y)}<0$
nên hàm số nghịch biến với mọi $y$.
Do đó $f(x)=g(y)\Leftrightarrow x=-y$
Lý luận như trên dựa vào cơ sở nào?
Ta có: $(1)\Leftrightarrow x+\sqrt{x^2+1}=\frac{1}{y+\sqrt{y^2+1}}\Leftrightarrow x+\sqrt{x^2+1}=(-y)+\sqrt{(-y)^2+1}$
Ta chứng minh $f(t)=t+\sqrt{t^2+1}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ như trên. Từ đó suy ra $x=-y$
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hpt, hệ phương trình, tìm m, bài toán chứa tham số
Solved
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh
