Hằng số huyền thoại ở đây chính là số $\pi$, là tỉ số giữa chu vi với đường kính của cùng 1 hình tròn bất kỳ.
Như chúng ta đã biến, số $\pi$ là một số vô tỉ, có giá trị xấp xỉ $3,14$. Ngoài ra, $\pi$ còn là số siêu việt, tức nó không phải là nghiệm của bất cứ phương trình đại số với hệ số hữu tỉ nào.
Số $\pi$ có lịch sử hình thành lâu đời. Nếu như ai đam mê về kiến trúc Kim tự tháp Kheops thì sẽ biết rằng tỉ lệ giữa chu vi và chiều cao của Kim tự tháp này xấp xỉ $2\pi$, hay ở Babylon, người ta đã phát hiện một tấm đất sét đã ghi lại một phát biểu hình học, trong đó ám chỉ ước lượng số $\pi = \frac{25}{8}$. Cho đến ngày nay, $\pi$ vẫn có vai trò quan trọng trong nhiều ngành như thống kê, vũ trụ học, điện từ học,.... Ngoài ra $\pi$ còn là công cụ hữu ích để kiểm tra các siêu máy tính, với những ý nghĩa quan trọng với nhân loại, người ta đã lập ra ngày 14 tháng 3 hằng năm là Ngày số $\pi$.
Ứng dụng của số $\pi$ rất đa dạng, ngoài những công thức được học trong chương trình phổ thông, ta có thể kể đến những công thức như:
- Công thức phân phối chuẩn (trong thống kê):
$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}.e^{-\frac{1}{2}x^{2}}$$
- Công thức tích phân $Cauchy$
$$\int _{\gamma }\frac{f(z)}{z-w}\ dz=2\pi in(\gamma ,w)f(w)$$
- Thuyết $Gauss-Bornet$:
$$\int _{M }K\ dA=2\pi \chi (M)$$
- Tính xấp xỉ:
$$n!=\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^{n}$$
- Công thức thu gọn hằng số $Plank$:
- Công thức tính chu vi hình tròn:
$$d=2\pi r$$
Các bạn có thấy điều gì đặc biệt trong những công thức trên không? Đó là sự xuất hiện của giá trị $2\pi$.
Một số nhà toán học nhận định rằng có lẽ số $\pi$ nên được thay thế bằng một hằng số khác để tiện việc tính toán, rất nhiều công thức đều có mặt giá trị $2\pi$, vì vậy nên chăng ta chuyển qua sử dụng số $\tau?$. $\tau$ thực chất là một hằng số có giá trị $2\pi$, đơn giản vậy thôi. Khi đó, $\tau$ chính là tỉ số giữa chu vi và bán kính của cùng 1 đường tròn.
Chắc hẳn các bạn thắc mắc rằng việc sử dụng $\tau$ có gì khác biệt so với $\pi$. Cái khác biệt đầu tiên chính là những công thức tôi vừa nêu ta sẽ thay $2\pi =\tau$. Khi còn sử dụng $\pi$, những bạn học lượng giác chắc hẳn sẽ rất rối rắm khi biến đổi các cung. Cụ thể:
- Như ta biết 1 vòng tròn lượng giác có giá trị là $2\pi$
- Giả sử tôi lấy $\frac{1}{4}$ đường tròn (như hình dưới), thì ta được giá trị cung tương ứng là bao nhiêu $\pi$ ?
- Đáp án là $\frac{\pi}{2}$ radian, khá rắc rối nhỉ, thế nếu như tôi lấy $\frac{3}{4}$ đường tròn như hình dưới đây thì được bao nhiêu radian ?
- Đáp án là $\frac{3\pi}{2}$ radian, cẩn thận coi chừng nhầm đấy nhé!
- Vậy tôi làm một bài toán ngược: $\frac{1}{3}\pi$ radian ứng với mấy phần của vòng tròn? Không phải $\frac{1}{3}$ vòng tròn đâu nhé mà là $\frac{1}{6}$, rắc rối quá nhỉ.
Chắc bạn sẽ cho rằng:"Ôi!, chỉ tinh ý tí là đổi ra được mà, xài $\pi$ có sao đâu, tập trung 1 chút là tránh được sai lầm". Không! Toán học thật sự phải gọn gàng và dễ hiểu. Bây giờ ta chuyển qua số $\tau$ xem có gì tiện lợi không nhé! Ta có 1 vòng tròn ứng với $1\tau$
- Lấy $\frac{1}{4}$ đường tròn như hình vẽ, ta được cung bao nhiêu $\tau$? Đáp án là $\frac{1}{4}\tau$ radian, dễ nhỉ?
- Thế còn $\frac{3}{4}$ đường tròn thì sao? Đáp án là $\frac{3}{4}\tau$ radian, thật khó mà nhầm được.
- Làm một bài toán ngược: $\frac{1}{6}\tau$ radian ứng với mấy phần của vòng tròn? Chính xác, là $\frac{1}{6}$, quá tiện lợi khi dùng $\tau$
- Thêm 1 bài nữa: $\frac{7}{23}$ đường tròn ứng với bao nhiêu radian? Chính là $\frac{7}{23}\tau$ radian.
Những bạn lần đầu tiếp cận với lượng giác chắc hẳn đã từng bị thầy cô bắt học thuộc những công thức như sau:
$$\sin (0)=0$$
$$\sin (\frac{\pi}{2})=1$$
$$\sin (\pi)=0$$
$$\sin (\frac{3\pi}{2})=-1$$
Những công thức trên được suy ra từ vòng tròn lượng giác có bán kính bằng 1, trục tung là $\sin$, trục hoành là $\cos$. Giả sử lấy giao điểm của trục hoành và vòng tròn làm mốc, quay ngược chiều kim đồng hồ, dễ thấy khi tới $\frac{1}{4}$ vòng tròn thì giá trị $\sin =1$, thế nhưng trong công thức thì độ dài cung lại là $\frac{1}{2}.\pi$ radian và nhiều bạn cứ nhầm lẫn chỗ này khi ghi $\sin \frac{\pi}{4}=1$. Nếu như xài $\tau$ thì tôi tin chắc bạn sẽ không thể nhầm lẫn nữa vì khi đó $\sin \frac{1}{4}.\tau=1$, vừa ăn khớp với $\frac{1}{4}$ đường tròn, tương tự với các kết quả còn lại, thật tiện dụng khi xài $\tau$
Khi nhắc đến số $\pi$ ta thường nghĩ ngay đến đường tròn, ta có chu vi đường tròn bán kính $r$ là $2\pi.r$, hay được viết thành $\tau .r$. Nhưng còn diện tích thì sao? Nếu dùng $\pi$, ta có công thức diện tích $\pi .r^{2}$, nếu sử dụng $\tau$ thì công thức trên viết thành $\frac{1}{2}.\tau .r^{2}$, thật là phiền phức khi dính tới phân số nhỉ? Bây giờ ta quay lại cách chứng minh diện tích hình tròn nhé!
- Chia hình tròn thành nhiều phần bằng nhau, càng nhiều càng tốt
- Sắp xếp các phần lại như hình dưới đây
- Ta thấy hình thu được tựa như hình bình hành có chiều cao là $r$, bằng những phép tính giới hạn, ta tính được “cạnh đáy” là $\frac{1}{2} $ nhân với chu vi đường tròn, vậy diện tích của “hình bình hành” trên là $\frac{1}{2}.2\pi .r^{2}$. Như vậy bản chất của công thức diện tích trên đã ẩn chứa số $\tau=2\pi$ nên việc sử dụng công thức $\frac{1}{2}.\tau .r^{2}$ giúp ta nhớ cách thức chứng minh diện tích hình tròn
Với những bạn nào có nghiên cứu về số phức chắc hẳn các bạn biết công thức Euler nổi tiếng:
$$e^{\pi .i}=-1$$
Nhưng nếu sử dụng số $\tau$ thì công thức trên viết như thế nào? Không phải biến đổi $\pi$ thành $\frac{\tau}{2}$ đâu nhé.
- Theo Euler, ta có:
$$e^{i.x}=\cos (x)+i\sin (x)$$
Thay $x=\tau$, ta được:
$$e^{i.\tau}=\cos (\tau)+i\sin (\tau)=1$$
Bạn thấy đấy, nếu bạn dùng $\pi$, bạn phải nhớ số âm, còn dùng $\tau$ thì bạn nhớ số dương, tùy bạn lựa chọn nhé!
Tìm ra số $\pi$ là 1 phát minh có thể nói là quan trọng của loài người. Thế nhưng khi ứng dụng vào khoa học kỹ thuật, người ta hầu như sử dụng $2\pi$. Vậy, liệu chúng ta có nên chuyển sang sử dụng $\tau$ hay không?
Tham khảo thêm tại:
The Tau manifesto by Michael Hartl
No, really, pi is wrong - Michael Hartl
Pi is wrong! Here comes Tau day - Kevin Houston
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 14-08-2013 - 12:14
