Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

Số $\tau$ và tham vọng thay thế hằng số huyền thoại


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản trị
  • 859 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Tp. Hồ Chí Minh, Việt Nam
  • Sở thích:toán, toán và.... toán

Đã gửi 14-08-2013 - 11:58

h1.jpg

 

Hằng số huyền thoại ở đây chính là số $\pi$, là tỉ số giữa chu vi với đường kính của cùng 1 hình tròn bất kỳ.

 

Như chúng ta đã biến, số $\pi$ là một số vô tỉ, có giá trị xấp xỉ $3,14$. Ngoài ra, $\pi$ còn là số siêu việt, tức nó không phải là nghiệm của bất cứ phương trình đại số với hệ số hữu tỉ nào.

 

 

Số $\pi$ có lịch sử hình thành lâu đời. Nếu như ai đam mê về kiến trúc Kim tự tháp Kheops thì sẽ biết rằng tỉ lệ giữa chu vi và chiều cao của Kim tự tháp này xấp xỉ $2\pi$, hay ở Babylon, người ta đã phát hiện một tấm đất sét đã ghi lại một phát biểu hình học, trong đó ám chỉ ước lượng số $\pi = \frac{25}{8}$. Cho đến ngày nay, $\pi$ vẫn có vai trò quan trọng trong nhiều ngành như thống kê, vũ trụ học, điện từ học,.... Ngoài ra $\pi$ còn là công cụ hữu ích để kiểm tra các siêu máy tính, với những ý nghĩa quan trọng với nhân loại, người ta đã lập ra ngày 14 tháng 3 hằng năm là Ngày số $\pi$.

 

 

Ứng dụng của số $\pi$ rất đa dạng, ngoài những công thức được học trong chương trình phổ thông, ta có thể kể đến những công thức như:

 

 

- Công thức phân phối chuẩn (trong thống kê):

 

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}.e^{-\frac{1}{2}x^{2}}$$

 

 

- Công thức tích phân $Cauchy$

 

$$\int _{\gamma }\frac{f(z)}{z-w}\ dz=2\pi in(\gamma ,w)f(w)$$

 

 

- Thuyết $Gauss-Bornet$:

 

$$\int _{M }K\ dA=2\pi \chi (M)$$

 

 

- Tính xấp xỉ:

 

$$n!=\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^{n}$$

 

 

- Công thức thu gọn hằng số $Plank$:

 

Plankconstant_zps219cf80a.png

 

- Công thức tính chu vi hình tròn:

 

$$d=2\pi r$$

 

 

Các bạn có thấy điều gì đặc biệt trong những công thức trên không? Đó là sự xuất hiện của giá trị $2\pi$.

 

 

Một số nhà toán học nhận định rằng có lẽ số $\pi$ nên được thay thế bằng một hằng số khác để tiện việc tính toán, rất nhiều công thức đều có mặt giá trị $2\pi$, vì vậy nên chăng ta chuyển qua sử dụng số $\tau?$. $\tau$ thực chất là một hằng số có giá trị $2\pi$, đơn giản vậy thôi. Khi đó, $\tau$ chính là tỉ số giữa chu vi và bán kính của cùng 1 đường tròn.

 

 

Chắc hẳn các bạn thắc mắc rằng việc sử dụng $\tau$ có gì khác biệt so với $\pi$. Cái khác biệt đầu tiên chính là những công thức tôi vừa nêu ta sẽ thay $2\pi =\tau$. Khi còn sử dụng $\pi$, những bạn học lượng giác chắc hẳn sẽ rất rối rắm khi biến đổi các cung. Cụ thể:

 

 

- Như ta biết 1 vòng tròn lượng giác có giá trị là $2\pi$

2pi_zpsd8f2bc98.png

 

- Giả sử tôi lấy $\frac{1}{4}$ đường tròn (như hình dưới), thì ta được giá trị cung tương ứng là bao nhiêu $\pi$ ?

 

1phan4pi_zps71d3411e.png

 

- Đáp án là $\frac{\pi}{2}$ radian, khá rắc rối nhỉ, thế nếu như tôi lấy $\frac{3}{4}$ đường tròn như hình dưới đây thì được bao nhiêu radian ?

 

 

3phan4_zps45ddbabc.png

 

- Đáp án là $\frac{3\pi}{2}$ radian, cẩn thận coi chừng nhầm đấy nhé!

 

- Vậy tôi làm một bài toán ngược: $\frac{1}{3}\pi$ radian ứng với mấy phần của vòng tròn? Không phải $\frac{1}{3}$ vòng tròn đâu nhé mà là $\frac{1}{6}$, rắc rối quá nhỉ. 

 

 

Chắc bạn sẽ cho rằng:"Ôi!, chỉ tinh ý tí là đổi ra được mà, xài $\pi$ có sao đâu, tập trung 1 chút là tránh được sai lầm". Không! Toán học thật sự phải gọn gàng và dễ hiểu. Bây giờ ta chuyển qua số $\tau$ xem có gì tiện lợi không nhé! Ta có 1 vòng tròn ứng với $1\tau$

 

tau_zps4fd7a265.png

 

- Lấy $\frac{1}{4}$ đường tròn như hình vẽ, ta được cung bao nhiêu $\tau$? Đáp án là $\frac{1}{4}\tau$ radian, dễ nhỉ?

 

1phan4tau_zps7055ed67.png

 

- Thế còn $\frac{3}{4}$ đường tròn thì sao? Đáp án là $\frac{3}{4}\tau$ radian, thật khó mà nhầm được.

 

baphanbontau_zps90573f73.png

 

- Làm một bài toán ngược: $\frac{1}{6}\tau$ radian ứng với mấy phần của vòng tròn? Chính xác, là $\frac{1}{6}$, quá tiện lợi khi dùng $\tau$

 

- Thêm 1 bài nữa: $\frac{7}{23}$ đường tròn ứng với bao nhiêu radian? Chính là $\frac{7}{23}\tau$ radian.

Những bạn lần đầu tiếp cận với lượng giác chắc hẳn đã từng bị thầy cô bắt học thuộc những công thức như sau:

 

$$\sin (0)=0$$

 

$$\sin (\frac{\pi}{2})=1$$

 

$$\sin (\pi)=0$$

 

$$\sin (\frac{3\pi}{2})=-1$$

 

Những công thức trên được suy ra từ vòng tròn lượng giác có bán kính bằng 1, trục tung là $\sin$, trục hoành là $\cos$. Giả sử lấy giao điểm của trục hoành và vòng tròn làm mốc, quay ngược  chiều kim đồng hồ, dễ thấy khi tới $\frac{1}{4}$ vòng tròn thì giá trị $\sin =1$, thế nhưng trong công thức thì độ dài cung lại là $\frac{1}{2}.\pi$ radian và nhiều bạn cứ nhầm lẫn chỗ này khi ghi $\sin \frac{\pi}{4}=1$. Nếu như xài $\tau$ thì tôi tin chắc bạn sẽ không thể nhầm lẫn nữa vì khi đó $\sin \frac{1}{4}.\tau=1$, vừa ăn khớp với $\frac{1}{4}$ đường tròn, tương tự với các kết quả còn lại, thật tiện dụng khi xài $\tau$

 

Khi nhắc đến số $\pi$ ta thường nghĩ ngay đến đường tròn, ta có chu vi đường tròn bán kính $r$ là $2\pi.r$, hay được viết thành $\tau .r$. Nhưng còn diện tích thì sao? Nếu dùng $\pi$, ta có công thức diện tích $\pi .r^{2}$, nếu sử dụng $\tau$ thì công thức trên viết thành $\frac{1}{2}.\tau .r^{2}$, thật là phiền phức khi dính tới phân số nhỉ? Bây giờ ta quay lại cách chứng minh diện tích hình tròn nhé!

  • Chia hình tròn thành nhiều phần bằng nhau, càng nhiều càng tốt
  • chiaphan_zpsad2b318b.png
  • Sắp xếp các phần lại như hình dưới đây
  • lim_zps12fedd2e.png
  • Ta thấy hình thu được tựa như hình bình hành có chiều cao là $r$, bằng những phép tính giới hạn, ta tính được “cạnh đáy” là $\frac{1}{2} $ nhân với chu vi đường tròn, vậy diện tích của “hình bình hành” trên là $\frac{1}{2}.2\pi .r^{2}$. Như vậy bản chất của công thức diện tích trên đã ẩn chứa số $\tau=2\pi$ nên việc sử dụng công thức $\frac{1}{2}.\tau .r^{2}$ giúp ta nhớ cách thức chứng minh diện tích hình tròn

 

Với những bạn nào có nghiên cứu về số phức chắc hẳn các bạn biết công thức Euler nổi tiếng:

$$e^{\pi .i}=-1$$

 

Nhưng nếu sử dụng số $\tau$ thì công thức trên viết như thế nào? Không phải biến đổi $\pi$ thành $\frac{\tau}{2}$ đâu nhé.

  • Theo Euler, ta có:

$$e^{i.x}=\cos (x)+i\sin (x)$$

 

Thay $x=\tau$, ta được:

 

$$e^{i.\tau}=\cos (\tau)+i\sin (\tau)=1$$

 

Bạn thấy đấy, nếu bạn dùng $\pi$, bạn phải nhớ số âm, còn dùng $\tau$ thì bạn nhớ số dương, tùy bạn lựa chọn nhé!

 

Tìm ra số $\pi$ là 1 phát minh có thể nói là quan trọng của loài người. Thế nhưng khi ứng dụng vào khoa học kỹ thuật, người ta hầu như sử dụng $2\pi$. Vậy, liệu chúng ta có nên chuyển sang sử dụng $\tau$ hay không?

 

Tham khảo thêm tại:

 

The Tau manifesto by Michael Hartl

 

Pi is (still) wrong - Vi Hart

No, really, pi is wrong - Michael Hartl

Pi is wrong! Here comes Tau day - Kevin Houston

Tau replaces Pi - Numberphile

 

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 14-08-2013 - 12:14

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

logocopy.jpg?t=1339838138


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#2 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 26-07-2016 - 09:38


Khi nói đến việc tính toán với đường tròn người ta liên tưởng ngay đến số pi. Hằng năm có cả 2 ngày để vinh danh nó là 14.3 hoặc ngày 22.7 vì giá trị của pi là 3,14159... hoặc 22:7.

Hình đã gửi

Tuy nhiên, nhiều chuyên gia toán học cho rằng số lượng ngỡ như hằng số để tham chiếu khi tính toán từ chu vi đến diện tích đường tròn là sai và cần phải thay thế bằng một giá trị khác gọi là “tau”.

Các nhà toán học đã mở đợt vận động để các sách giáo khoa được viết lại để sử dụng tau mà giá trị vào khoảng 6,28, tức là gấp đôi số pi hiện có. Thậm chí nhiều người hăng hái tuyên bố cũng có ngày dành để tôn vinh giá trị tau là 28.6 hàng năm.

Giáo sư toán học Kevin Houston tại Đại học Leeds nói rằng, đã nhiều năm các nhà khoa học nhận ra rằng pi không phải là con số tự nhiên nhất khi chúng ta liên kết đến một đường tròn. Số lượng thích hợp hơn phải là 2pi, hay tau. Trên thực tế tau đã được ứng dụng tính toán trong các phương trình khoa học và kỹ thuật. Ông nhấn mạnh rằng các nhà toán học ngày nay không đo cung đường tròn bằng đơn vị độ mà thường đo bằng radian và cả đường tròn có số đo là 2pi radian. Do vậy khi cần tính một phần tư đường tròn thì người ta phải dùng đến nửa pi hoặc một phần tư của 2pi radian.

Theo báo Daily Mail, tiến sĩ Houston đã sáng tác một đoạn video rồi đưa lên trang mạng YouTube để chứng minh dùng tau tối ưu hơn pi trong nhiều trường hợp nghiên cứu khoa học.

Quay trở lại lịch sử, được biết rằng pi có nguồn gốc từ tiếng Hy Lạp “perimeter”, có nghĩa là đường tròn và nhà toán học William Jones đã tách chữ cái đầu tiên của từ này để đặt tên cho pi vào năm 1706. Xa hơn nữa thì người Ai Cập cổ đại và người Babylon cũng đã biết giá trị gần đúng của số pi, trong khi đó thì một phiên bản khác cũng xuất hiện trong Kinh thánh.

Có thể xem đoạn video của Kevin Houston nói rằng pi là một con số sai lầm:

 

có video nhưng mình không copy vào được, mọi người lên đây xem hộ mình nhá http://tusach.thuvie..._“lật_đổ”_số_pi


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 16-08-2016 - 10:22

"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#3 vo ke hoang

vo ke hoang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:tp.hcm
  • Sở thích:reading

Đã gửi 16-08-2016 - 10:16

thế à, mình thâý số pi rất đúng. Ví dụ như tính chu vi hình tròn thì bằng đường kính nhân 3.1415926525897932384626433.... thì gần đúng còn nhân 2 pi thì sai trầm trọng. Còn diện tích thì chưa thử, mà để mình coi video cái đã, xem nó nói cái gì. :D
PS. Mình tôn trọng tất cả các ý kiến mà các nhà toán học đưa ra, Nhưng để lật cái kia thì mình phản đối. Trong một chừng mực nào đó thì cái này sẽ đúng hơn cái kia. :ukliam2:

 


này, đạo văn phải có trích từ nguồng nào chứ, còn không là bị nhắc nhở đấy, sữa nhanh đi :angry:

 


a


:icon10:  :icon10:  :icon10: If i can see further it is by standing on the shoulders of giants. :icon10:  :icon10:  :icon10: 

                        (Issac Newton)


#4 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 11-09-2016 - 15:56

thế à, mình thâý số pi rất đúng. Ví dụ như tính chu vi hình tròn thì bằng đường kính nhân 3.1415926525897932384626433.... thì gần đúng còn nhân 2 pi thì sai trầm trọng. Còn diện tích thì chưa thử, mà để mình coi video cái đã, xem nó nói cái gì. :D
PS. Mình tôn trọng tất cả các ý kiến mà các nhà toán học đưa ra, Nhưng để lật cái kia thì mình phản đối. Trong một chừng mực nào đó thì cái này sẽ đúng hơn cái kia. :ukliam2:

 

này, đạo văn phải có trích từ nguồng nào chứ, còn không là bị nhắc nhở đấy, sữa nhanh đi :angry:

 

a

trong đường tròn thì khi tính toán người ta sẽ sử dụng bán kính là chính bạn ạ, chứ rất ít khi dùng đường kính


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh