Giải
Phương trình ban đầu tương đương:
$\sin{4x} - (\cos{4x} + 1) + 4(\cos{x} - \sin{x}) = 0$
$\Leftrightarrow 2\sin{2x}\cos{2x} - 2\cos^2{2x} + 4(\cos{x} - \sin{x}) = 0$
$\Leftrightarrow \cos{2x}(\sin{2x} - \cos{2x}) + 2(\cos{x} - \sin{x}) = 0$
$\Leftrightarrow (\cos^2{x} - \sin^2{x}) (\sin{2x} - \cos{2x}) + 2(\cos{x} - \sin{x}) = 0$
$\Leftrightarrow (\cos{x} - \sin{x})\left [ (\cos{x} + \sin{x})(\sin{2x} - \cos{2x}) + 2\right ] = 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}\tan{x} = 1\\(\sin{x} + \cos{x})(\sin{2x} - \cos{2x}) = -2 \, (2)\end{matrix}\right.$
Giải (2) như sau:
Ta có: $(\sin{x} + \cos{x})(\sin{2x} - \cos{2x}) = -2 \Leftrightarrow \sin{\left (x + \dfrac{\pi}{4} \right )}.\sin{\left ( 2x - \dfrac{\pi}{4}\right )} = -1$
Do $-1 \leq \sin{\alpha} \leq 1 \Rightarrow \sin{\left (x + \dfrac{\pi}{4} \right )}.\sin{\left ( 2x - \dfrac{\pi}{4}\right )} \geq - 1$
Dấu "=" xảy ra khi $\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}\sin{\left (x + \dfrac{\pi}{4} \right )} = 1\\\sin{\left ( 2x - \dfrac{\pi}{4}\right )} = -1\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}\sin{\left (x + \dfrac{\pi}{4} \right )} = -1\\\sin{\left ( 2x - \dfrac{\pi}{4}\right )} = 1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$
Hoặc cách khác: $(\sin{x} + \cos{x})(\sin{2x} - \cos{2x}) = -2$
$\Leftrightarrow (\sin{x}\sin{2x} - \cos{x}\cos{2x}) + \sin{2x}\cos{x} - \sin{x}\cos{2x} = -2$
$\Leftrightarrow - \cos{3x} + \sin{x} = -2 \Leftrightarrow 1 - \cos{3x} + \sin{x} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\cos{3x} = 1\\\sin{x} = -1\end{matrix}\right.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 16-08-2013 - 08:34