Chứng minh mọi nhóm con chuẩn tắc H cấp $p$ của nhóm G có cấp $p^2$ ($p\in \mathbb{P}$) đều nằm trong tâm của G.
Chứng minh $H \subset Z(G)$
Bắt đầu bởi funcalys, 16-08-2013 - 09:16
#2
Đã gửi 23-08-2013 - 09:16
sptb
-
- Thành viên
-
- 15 Bài viết
Binh nhì
Chứng minh mọi nhóm con chuẩn tắc H cấp $p$ của nhóm G có cấp $p^2$ ($p\in \mathbb{P}$) đều nằm trong tâm của G.
Đầu tiên bạn chứng minh mọi nhóm cấp $p^2$ là nhóm aben từ đó suy ra $G=Z(G)$ mà $H\subset G$ nên $H\subset Z(G)$
- funcalys yêu thích
#3
Đã gửi 06-09-2013 - 07:51
fghost
-
- Thành viên
-
- 227 Bài viết
Thượng sĩ
Các lớp liên hợp của các phần tử của H chỉ bao gồm những phần tử của H vì H chuẩn tắc. Mà mọi lớp liên hợp có số lượng phần tử bằng chỉ số của nhóm con chuẩn hóa $C_G(a)$ trong $G$, nên chia hết cho $|G|=p^2$, nên chỉ có thể là $1$ hoặc $p$. $1$ nằm trong 1 lớp liên hợp của chính nó, vì vậy những lớp liên hợp còn lại sẽ phải có độ dài bằng $1$. Do đó, mỗi phần tử của $H$ giao hoán với mọi phần tử khác của $G$, $H \subset Z(G).$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi fghost: 06-09-2013 - 07:52
- funcalys yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
