Chủ đề này có 1 trả lời

[hihi2zz]

Cho 3 số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=3$.Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$P=(x^{2}+y^{2}+z^{2})(2-xy-yz-zx)$

[25 minutes]

Cho 3 số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=3$.Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$P=(x^{2}+y^{2}+z^{2})(2-xy-yz-zx)$

Đặt $xy+yz+zx=t$, $\Rightarrow t \in \left [ 0;3 \right ]$

$\Rightarrow x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=9-2t$

$\Rightarrow P=(9-2t)(2-t)=2t^2-13t+18=f(t)$

$\Rightarrow f'(t)=4t-13=0\Leftrightarrow t=\frac{13}{4}$

Lập bảng bién thiên của $f(t)$ ta thấy $f(t)$ nghịch biến trên $\left [ 0;3 \right ]$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} f(t)\leqslant f(0)=18\\f(t)\geqslant f(3)= -3 \end{matrix}\right.$

Vậy ta có đpcm

GTLN đạt được khi $(x,y,z)=(0,0,3)$ và hoán vị

GTNN đạt được khi $x=y=z=1$