Cho đường tròn (O;13) và hai dây cung AB, CD cố định ko cắt nhau. Xét điểm I trên đoạn CD. Cho AI, BI cắt (O) tại E, F. AF, BE cắt CD tại M, N. BIết ID = 10, IN = 6 và $3CM^{2}+5CM=MI^{2}$. Tính độ dài dây CD.
Tính độ dài dây CD.
#1
Đã gửi 16-08-2013 - 12:51
#2
Đã gửi 20-08-2017 - 15:14
#3
Đã gửi 09-08-2018 - 12:28
Ta có một bổ đề quen thuộc, mở rộng của định lý con bướm: cho đường tròn $(O)$ có điểm $I$ nằm trên dây $AB$ và hai dây $CD, EF$ đi qua $I$ ($C, E$ nằm trên cung nhỏ $AB$). Gọi $M, N$ lần lượt là giao điểm $CF, DE$ với $AB$ thì ta có $\frac{1}{IA}+\frac{1}{IN}=\frac{1}{IB}+\frac{1}{IM}$
Áp dụng bổ đề ta có $\frac{1}{IC}+\frac{1}{IN}=\frac{1}{ID}+\frac{1}{IM}$
$\Rightarrow \frac{1}{MI}-\frac{1}{CM+MI}=\frac{1}{6}-\frac{1}{10}\\ \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{MI}-\dfrac{1}{CM+MI}=\dfrac{1}{15}\\ 3CM^2+5CM=MI^2 \end{matrix}\right.$
Giải hệ trên cho ta $MI =\frac{-25+5\sqrt{73}}{4}, CM=\frac{65-5\sqrt{73}}{12}$. Như vậy độ dài cung $CD$ là $CM+MI+ID=\frac{55+5\sqrt{73}}{6}$.
Chắc đề sai số, với cả dữ kiện bán kính đường tròn là $13$ cũng không dùng tới.
- Khoa Linh yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh