Đến nội dung

Hình ảnh

Tích phân- thi thử quốc học huế

- - - - - tích phân

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
bongsuababy

bongsuababy

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết

$\frac{xsin\left ( x-\frac{\pi }{4} \right )}{sin2x+4sin\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )+3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bongsuababy: 16-08-2013 - 16:08


#2
duongtoi

duongtoi

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 747 Bài viết


$\frac{xsin\left ( x-\frac{\pi }{4} \right )}{sin2x+4sin\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )+3}$

B1: Ta phân tích mẫu một chút.

Ta có $\sin2x+4\sin\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )+3=(\sin x+\cos x)^2+4\sin(x+\frac{\pi}{4})+2=2\left [ \sin(x+\frac{\pi}{4}+1) \right ]^2$

Ta có $\sin(x-\frac{\pi}{4})=-\cos (x+\frac{\pi}{4})$

B2: Sử dụng tích phân từng phần.

Đặt $u=x;{\rm d}v=\frac{\sin(x-\frac{\pi}{4})}{\left [ \sin(x+\frac{\pi}{4})+1 \right ]^2}{\rm d}x$

Suy ra ${\rm d}u={\rm d}x;v=\frac{1}{\sin(x+\frac{\pi}{4})+1}$

Vậy $2I=\frac{x}{\sin(x+\frac{\pi}{4})+1}-\int\frac{1}{\sin(x+\frac{\pi}{4})+1}{\rm d}x$

B3: Tính $J=\int\frac{1}{\sin(x+\frac{\pi}{4})+1}{\rm d}x$

Ta có $\sin(x+\frac{\pi}{4})+1=\left [ \sin \left ( \frac{x}{2}+\frac{\pi}{8}\right )+\cos \left ( \frac{x}{2}+\frac{\pi}{8} \right ) \right ]^2=2\sin^2\left ( \frac{x}{2}+\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{4} \right )$

$=2\sin^2\left ( \frac{x}{2}+\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{4} \right ) =2\sin^2\left ( \frac{x}{2}+\frac{3\pi}{8}\right )$

Do vậy $J=\int\frac{1}{2\sin^2\left ( \frac{x}{2}+\frac{3\pi}{8}\right )}{\rm d}x=-\cot \left ( \frac{x}{2}+\frac{3\pi}{8}\right )+C$

Vậy $2I=\frac{x}{\sin(x+\frac{\pi}{4})+1}+\cot \left ( \frac{x}{2}+\frac{3\pi}{8}\right )+C$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duongtoi: 16-08-2013 - 16:53






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: tích phân

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh