1 reply to this topic

[hihi2zz]

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 2^{2y-x}+2^{y}=2^{x+1}\\ log_{5}(x^{2}+3y+1)-log_{5} y=-2x^{2}+4y-1 \end{matrix}\right.$

[25 minutes]

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 2^{2y-x}+2^{y}=2^{x+1}\\ log_{5}(x^{2}+3y+1)-log_{5} y=-2x^{2}+4y-1 \end{matrix}\right.$

Từ phương trình đầu tiên ta được $4^y+2^{x+y}=2^{2x+1}$

            $\Leftrightarrow 4^y+2^x.2^y=4^x.2$

            $\Leftrightarrow 4^y-4^x=2^x(2^x-2^y)\Rightarrow x=y$

Từ điều kiện của phương trình $24 ta có $x=y>0$

Khi đó $\log_5(x^2+3x+1)-\log_5x=-2x^2+4x-1$

$\Leftrightarrow \log_5(x^2+3x+1)-\log_5x+2x^2-4x+1=0$

Xét $f(x)= \log_5(x^2+3x+1)-\log_5x+2x^2-4x+1$

$\Rightarrow f'(x)=\frac{2x+3}{(x^2+3x+1)\ln 5}-\frac{1}{x \ln 5}+4x-4$

Đến đây có thể xét $2$ trường hợp $x>1, x<1$, khi đó $f'(x) >, f'(x)<0$

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất $x=y=1$