Chứng minh rằng hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} e^{x}+\frac{y}{\sqrt{y^{2}-1}}=2012\\e^{y}+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}=2012 \end{matrix}\right.$ có đúng hai nghiệm phân biệt $x,y$ thỏa mãn $x>1,y>1$
$\left\{\begin{matrix} e^{x}+\frac{y}{\sqrt{y^{2}-1}}=2012\\... \end{matrix}\right.$
#1
Đã gửi 17-08-2013 - 16:18
Cách duy nhất để học toán là làm toán
#2
Đã gửi 17-08-2013 - 17:40
Chứng minh rằng hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} e^{x}+\frac{y}{\sqrt{y^{2}-1}}=2012\\e^{y}+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}=2012 \end{matrix}\right.$ có đúng hai nghiệm phân biệt $x,y$ thỏa mãn $x>1,y>1$
Từ giả thiết ta có $e^{x}-\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=e^y-\frac{y}{\sqrt{y^2-1}}$
Xét $f(c)=e^{c}-\frac{c}{\sqrt{c^2-1}},c >1$
$\Rightarrow f'(c)=e^c+\frac{1}{(c^2-1)^{\frac{3}{2}}}>0$
$\Rightarrow x=y>1$
Từ đó ta có $x,y$ là nghiệm của phương trình $e^{t}+\frac{t}{\sqrt{t^2-1}}=2012$
Ta sẽ chứng minh phương trình trên có $2$ nghiệm phân biệt thỏa mãn $t>1$
Xét $f(t)=e^{t}+\frac{t}{\sqrt{t^2-1}}-2012$
$\Rightarrow f'(t)=e^t-\frac{1}{\sqrt{(t^2-1)^3}}=0\Leftrightarrow e^t\sqrt{(t^2-1)^3}=1$
Gọi $\alpha$ là nghiệm của phương trình $f'(t)=0$
$\Rightarrow e^{\alpha }\sqrt{(\alpha ^2-1)^3}=1\Rightarrow \alpha > \frac{6}{5}$
Lập bảng biến thiên của $f(t)$, ta cần chứng minh 2 bất đẳng thức sau
$\left\{\begin{matrix} f(1).f(\alpha )<0\\f(\alpha ) f(+\infty ) <0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow f(\alpha )< 0$
Nhưng đây là bất đẳng thức đơn giản với $\alpha > \frac{6}{5}$
Vậy phương trình đã cho có $2$ nghiệm $x=y \in (1;\alpha ),x=y \in \left ( \alpha ;+\infty \right )$
P/S : Sở dĩ có thể làm như trên vì ta có $f''(t)>0$, suy ra $f(t)$ có tối đa $2$ nghiệm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 17-08-2013 - 17:41
- donghaidhtt, Tran Hoai Nghia và Thanh Huynh thích
#3
Đã gửi 17-08-2013 - 19:13
Lấy vế thứ nhất trừ vế thứ 2, ta có:
Chứng minh rằng hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} e^{x}+\frac{y}{\sqrt{y^{2}-1}}=2012\\e^{y}+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}=2012 \end{matrix}\right.$ có đúng hai nghiệm phân biệt $x,y$ thỏa mãn $x>1,y>1$
điều kiện:$\left | x \right |,\left | y \right |>1$
$e^{x}-\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}=e^{y}-\frac{y}{\sqrt{y^{2}-1}}$
xét hàm số:$f(t)=e^{t}-\frac{t}{\sqrt{t^{2}-1}}(\left | t \right |>1)\Rightarrow f'(t)=e^{t}+\frac{1}{(t^{2}-1)^{\frac{3}{2}}}>0$
$\Rightarrow f(x)=f(y)\Leftrightarrow x=y$
thế x=y vào 1 trong 2pt của hệ ta có:
$2012=e^{x}+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}$(1)
đặt $f(x)=e^{x}+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\Rightarrow f'(x)=e^{x}-\frac{1}{(x^{2}-1)^{\frac{3}{2}}}$
$f'(x)=0\Leftrightarrow e^{x}=\frac{1}{(x^{2}-1)^{\frac{2}{3}}}$
ta có $h(x)=e^{x}\Rightarrow h'(x)>0$ là hàm h(x) đồng biến
$g(x)=\frac{1}{(x^{2}-1)^{\frac{3}{2}}}\Rightarrow g'(x)=\frac{-3x\sqrt{x^{2}-1}}{(x^{2}-1)^{3}}$
bây giờ ta đi chứng minh với x<-1 thì (1) vô nghiệm.Thật vậy, nếu x<-1 thì vế phải của (1) luôn nhỏ hơn 2012.Vậy x>1, suy ra g(x) là hàm nghịch biến.
$\Rightarrow g(x)=h(x)$ có nghiệm duy nhất.
ta có $\lim_{x\rightarrow 1^{+}}(e^{x}+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}})=+\infty$
$\lim_{x\rightarrow +\infty }(e^{x}+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}})=+\infty$
vậy có nghĩa hàm f(x) chỉ có 1 cực tiểu suy ra (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Lập luận tương tự với y ta có đpcm.
Bài toán được giải xong.
P/S: có bạn giải trước mình, kì quá
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoai Nghia: 17-08-2013 - 19:32
- donghaidhtt yêu thích
SÁCH CHUYÊN TOÁN, LÝ , HÓA
https://www.facebook...toanchuyenkhao/
#4
Đã gửi 17-08-2013 - 20:00
$2012=e^{x}+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}$(1)
vậy có nghĩa hàm f(x) chỉ có 1 cực tiểu suy ra (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Hàm số chỉ có 1 cực tiểu thì chắc gì pt (1) đã có 2 nghiệm phân biệt hả bạn? Có thể vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm nếu $2012 \leq$ điểm cực tiểu (hay $\leq f(x)$ với mọi $x>1$)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi donghaidhtt: 17-08-2013 - 20:02
#5
Đã gửi 17-08-2013 - 20:13
Hàm số chỉ có 1 cực tiểu thì chắc gì pt (1) đã có 2 nghiệm phân biệt hả bạn? Có thể vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm nếu $2012 \leq$ điểm cực tiểu (hay $\leq f(x)$ với mọi $x>1$)
quên đoạn này nữa : xét $g(x)=\frac{1}{(x^{2}-1)^{\frac{3}{2}}}$ với x>2 thì luôn nhỏ hơn h(x), với x<1,1 thì luôn lớn hơn h(x).Vậy cực tiểu nằm trong khoảng đó, mà trong khoảng đó f(x) luôn nhỏ hơn 2012, bài toán vẫn dc cm xong
phân tích lợi hại: cách này dễ hiểu, dễ làm khi có máy tính, vẫn tính bằng tay dc bình thường, nhưng nó hơi bị kì quặc vì ở chỗ " mò" hơi nhiều
nhưng những bạn nào nhạy thì sẽ tính ra khoảng tồn tại điểm cực tiểu nhanh thôi)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoai Nghia: 17-08-2013 - 20:16
- donghaidhtt yêu thích
SÁCH CHUYÊN TOÁN, LÝ , HÓA
https://www.facebook...toanchuyenkhao/
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hệ phương trình, hpt, ltđh
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh