Đến nội dung

Hình ảnh

$\left\{\begin{matrix} e^{x}+\frac{y}{\sqrt{y^{2}-1}}=2012\\... \end{matrix}\right.$

- - - - - hệ phương trình hpt ltđh

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
hihi2zz

hihi2zz

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 248 Bài viết

Chứng minh rằng hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} e^{x}+\frac{y}{\sqrt{y^{2}-1}}=2012\\e^{y}+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}=2012 \end{matrix}\right.$ có đúng hai nghiệm phân biệt $x,y$ thỏa mãn $x>1,y>1$


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

                   Cách duy nhất để học toán là làm toán                            

 


#2
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

Chứng minh rằng hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} e^{x}+\frac{y}{\sqrt{y^{2}-1}}=2012\\e^{y}+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}=2012 \end{matrix}\right.$ có đúng hai nghiệm phân biệt $x,y$ thỏa mãn $x>1,y>1$

Từ giả thiết ta có $e^{x}-\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=e^y-\frac{y}{\sqrt{y^2-1}}$

Xét $f(c)=e^{c}-\frac{c}{\sqrt{c^2-1}},c >1$

$\Rightarrow f'(c)=e^c+\frac{1}{(c^2-1)^{\frac{3}{2}}}>0$

$\Rightarrow x=y>1$

Từ đó ta có $x,y$ là nghiệm của phương trình $e^{t}+\frac{t}{\sqrt{t^2-1}}=2012$

Ta sẽ chứng minh phương trình trên có $2$ nghiệm phân biệt thỏa mãn $t>1$

Xét $f(t)=e^{t}+\frac{t}{\sqrt{t^2-1}}-2012$

$\Rightarrow f'(t)=e^t-\frac{1}{\sqrt{(t^2-1)^3}}=0\Leftrightarrow e^t\sqrt{(t^2-1)^3}=1$

Gọi $\alpha$ là nghiệm của phương trình $f'(t)=0$

$\Rightarrow e^{\alpha }\sqrt{(\alpha ^2-1)^3}=1\Rightarrow \alpha > \frac{6}{5}$

Lập bảng biến thiên của $f(t)$, ta cần chứng minh 2 bất đẳng thức sau 

           $\left\{\begin{matrix} f(1).f(\alpha )<0\\f(\alpha ) f(+\infty ) <0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow f(\alpha )< 0$

Nhưng đây là bất đẳng thức đơn giản với $\alpha > \frac{6}{5}$

Vậy phương trình đã cho có $2$ nghiệm $x=y \in (1;\alpha ),x=y \in \left ( \alpha ;+\infty \right )$

P/S : Sở dĩ có thể làm như trên vì ta có $f''(t)>0$, suy ra $f(t)$ có tối đa $2$ nghiệm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 17-08-2013 - 17:41

Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#3
Tran Hoai Nghia

Tran Hoai Nghia

    UNEXPECTED PLEASURE.

  • Thành viên
  • 438 Bài viết

Lấy vế thứ nhất trừ vế thứ 2, ta có:

 

Chứng minh rằng hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} e^{x}+\frac{y}{\sqrt{y^{2}-1}}=2012\\e^{y}+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}=2012 \end{matrix}\right.$ có đúng hai nghiệm phân biệt $x,y$ thỏa mãn $x>1,y>1$

điều kiện:$\left | x \right |,\left | y \right |>1$

$e^{x}-\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}=e^{y}-\frac{y}{\sqrt{y^{2}-1}}$

xét hàm số:$f(t)=e^{t}-\frac{t}{\sqrt{t^{2}-1}}(\left | t \right |>1)\Rightarrow f'(t)=e^{t}+\frac{1}{(t^{2}-1)^{\frac{3}{2}}}>0$

$\Rightarrow f(x)=f(y)\Leftrightarrow x=y$

thế x=y vào 1 trong 2pt của hệ ta có:

$2012=e^{x}+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}$(1)

đặt $f(x)=e^{x}+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\Rightarrow f'(x)=e^{x}-\frac{1}{(x^{2}-1)^{\frac{3}{2}}}$

$f'(x)=0\Leftrightarrow e^{x}=\frac{1}{(x^{2}-1)^{\frac{2}{3}}}$

ta có $h(x)=e^{x}\Rightarrow h'(x)>0$ là hàm h(x) đồng biến

$g(x)=\frac{1}{(x^{2}-1)^{\frac{3}{2}}}\Rightarrow g'(x)=\frac{-3x\sqrt{x^{2}-1}}{(x^{2}-1)^{3}}$

bây giờ ta đi chứng minh với x<-1 thì (1) vô nghiệm.Thật vậy, nếu x<-1 thì vế phải của (1) luôn nhỏ hơn 2012.Vậy x>1, suy ra g(x) là hàm nghịch biến.

$\Rightarrow g(x)=h(x)$ có nghiệm duy nhất. 

ta có $\lim_{x\rightarrow 1^{+}}(e^{x}+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}})=+\infty$

$\lim_{x\rightarrow +\infty }(e^{x}+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}})=+\infty$

vậy có nghĩa hàm f(x) chỉ có 1 cực tiểu suy ra (1) có 2 nghiệm phân biệt.

Lập luận tương tự với y ta có đpcm.

Bài toán được giải xong.

P/S: :angry: có bạn giải trước mình, kì quá :namtay


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoai Nghia: 17-08-2013 - 19:32

SÁCH CHUYÊN TOÁN, LÝ , HÓA  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2: 
https://www.facebook...toanchuyenkhao/


#4
donghaidhtt

donghaidhtt

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 494 Bài viết

$2012=e^{x}+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}$(1)

vậy có nghĩa hàm f(x) chỉ có 1 cực tiểu suy ra (1) có 2 nghiệm phân biệt.

Hàm số chỉ có 1 cực tiểu thì chắc gì pt (1) đã có 2 nghiệm phân biệt hả bạn? Có thể vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm nếu $2012 \leq$ điểm cực tiểu (hay $\leq f(x)$ với mọi $x>1$)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi donghaidhtt: 17-08-2013 - 20:02


#5
Tran Hoai Nghia

Tran Hoai Nghia

    UNEXPECTED PLEASURE.

  • Thành viên
  • 438 Bài viết

Hàm số chỉ có 1 cực tiểu thì chắc gì pt (1) đã có 2 nghiệm phân biệt hả bạn? Có thể vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm nếu $2012 \leq$ điểm cực tiểu (hay $\leq f(x)$ với mọi $x>1$)

quên đoạn này nữa : xét $g(x)=\frac{1}{(x^{2}-1)^{\frac{3}{2}}}$ với x>2 thì luôn nhỏ hơn h(x), với x<1,1 thì luôn lớn hơn h(x).Vậy cực tiểu  nằm trong khoảng đó, mà trong khoảng đó f(x) luôn nhỏ hơn 2012, bài toán vẫn dc cm xong :lol:

phân tích lợi hại: cách này dễ hiểu, dễ làm khi có máy tính, vẫn tính bằng tay dc bình thường, nhưng nó hơi bị kì quặc vì ở chỗ " mò" hơi nhiều

nhưng những bạn nào nhạy thì sẽ tính ra khoảng tồn tại điểm cực tiểu nhanh thôi)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoai Nghia: 17-08-2013 - 20:16

SÁCH CHUYÊN TOÁN, LÝ , HÓA  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2: 
https://www.facebook...toanchuyenkhao/






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hệ phương trình, hpt, ltđh

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh