Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $( C ): (x-2)^{2}+(y+3)^{2}= \frac{27}{4}$ và đường thẳng $d:3x-4y+m-7=0$. Tìm $m$ để trên $d$ có duy nhất điểm $M$ mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến $MA, MB$ tới $( C )$ (Với $A,B$ là các tiếp điểm) sao cho $\angle AMB=120^{0}$
Đường tròn có tâm $I(2;-3)$ và bán kính $R=\frac{3\sqrt3}{2}$.
Theo giả thiết suy ra, $\widehat{IMA}=60^o$ nên $IM=\frac{IA}{\sin 60^o}=3$.
Do đó, $M$ nằm trên đường tròn tâm $I$ có bán kính $R'=3$.
Phương trình $(x-2)^2+(y+3)^2=9$ giao với đường thẳng $d$ tại duy nhất một điểm.
Tức là hệ $\begin{cases}(x-2)^2+(y+3)^2=9 \\ 3x-4y+m-7=0 \end{cases}$ có duy nhất một nghiệm.
Từ PT thứ hai suy ra $3(x-2)=4(y+3)-m-5$, thay vào PT thứ nhất ta được $(4(y+3)-m-5)^2+9(y+3)^2=81$
$\Leftrightarrow 16t^2-8(m+5)t+(m+5)^2+9t^2=81$ với $t=y+3$.
$\Leftrightarrow 25t^2-8(m+5)t+m^2+10m-56=0$ phải có nghiệm duy nhất.
$\Leftrightarrow \Delta'=16(m+5)^2-25(m^2+10m-56)=0$
$\Leftrightarrow m^2+10m-200=0$
$\Leftrightarrow m=10;m=-20$
Vậy có 02 giá trị của $m$ thỏa mãn là $m=-20$ và $m=10$.