Giải
a) Dựng SH $\perp$ AD $\, H \in AD$. Dễ thấy H là trung điểm AD và SH $\perp$ (ABCD)
Nối HB cắt AN tại K. Trong hình chữ nhật ABNH, K là trung điểm hai đường chéo AN và BH.
Vì vậy: MK // SH. Suy ra: MK $\perp$ (ABCD). Từ đó suy ra: MK $\perp$ BP.
Lại có, trong hình vuông ABCD, dễ dàng chứng minh được AN $\perp$ BP.
Vậy BP $\perp$ (AMN).
Do đó: BP $\perp$ AM.
b) Theo câu a, ta có: $MK = \dfrac{1}{2}SH = \dfrac{a\sqrt{3}}{4}$
Măt khác: $S_{\triangle CNP} = \dfrac{1}{2}CN.CP = \dfrac{a^2}{8}$
Vậy: $V_{MPCN} = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{96}$
Ta tính được:
- $MN = \dfrac{1}{2}SC = \dfrac{1}{2}\sqrt{SH^2 + HC^2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
- $NP = \sqrt{CN^2 + CP^2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
- $MP = \sqrt{MK^2 + KP^2} = \sqrt{\left (\dfrac{a\sqrt{3}}{4} \right )^2 + \left (\dfrac{3a}{4} \right )^2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Vậy, dễ dàng tính được: $S_{\triangle MNP} = \dfrac{a^2\sqrt{15}}{16}$
Do đó: $d_{(C; (MNP))} = \dfrac{3V_{CMPN}}{S_{\triangle MNP}} = \dfrac{a}{2\sqrt{5}}$
Không biết đúng không nữa