Chủ đề này có 3 trả lời

[dosonhaiphong]

Cho $n$ nguyên dương, $n>3$. GS $a$ là ước nguyên dương lớn nhất của $n$ thỏa mãn $a\leq \sqrt{n}$, $b$ là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn $b>n$ và tồn tại số nguyên dương $y$ mà $n<y<b$ sao cho $nb$ chia hết cho $y$. CMR $ab=(a+1)(a+n)$.

 

[Karl Heinrich Marx]

Cho $n$ nguyên dương, $n>3$. GS $a$ là ước nguyên dương lớn nhất của $n$ thỏa mãn $a\leq \sqrt{n}$, $b$ là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn $b>n$ và tồn tại số nguyên dương $y$ mà $n<y<b$ sao cho $nb$ chia hết cho $y$. CMR $ab=(a+1)(a+n)$.

Trước tiên đặt $n=ka$ khi đó thì ta cần chứng minh $b=(a+1)(k+1)$

Đặt $t=(n,y)$ và $n=t.t_1,y=t.t_2$ khi đó thì $t_2|b$ rõ ràng $b$ nhỏ nhất lớn hơn y thì $b=(t+1)t_2$ và để $b$ nhỏ nhất $t_2$ cũng cần nhỏ nhất có thể vì $y>n$ nên $t_2$ nhỏ nhất bằng $t_1+1$. Như vậy $b=(t+1)(t_1+1)=n+t_1+t_2+1$.

Đến đây ta chỉ cần tìm giá trị nhỏ nhất của $t_1+t_2$ thôi. Trong những cặp số không âm có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hiệu nhỏ nhất, Dựa vào biểu thức $4mn+(m-n)^2=(m+n)^2$. Từ đây dễ dàng suy ra $t_1=a,t_2=k$

P/s:Lâu lâu ghé thăm diễn đàn lấy chút không khí của toán, rất vui là các bạn tham gia rất nhiệt tình, không định post bài đâu nhưng trông thấy ava của bạn nên nghĩ lại

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Karl Heinrich Marx: 19-08-2013 - 02:02

[dosonhaiphong]

Trước tiên đặt $n=ka$ khi đó thì ta cần chứng minh $b=(a+1)(k+1)$

Đặt $t=(n,y)$ và $n=t.t_1,y=t.t_2$ khi đó thì $t_2|b$ rõ ràng $b$ nhỏ nhất lớn hơn y thì $b=(t+1)t_2$ và để $b$ nhỏ nhất $t_2$ cũng cần nhỏ nhất có thể vì $y>n$ nên $t_2$ nhỏ nhất bằng $t_1+1$. Như vậy $b=(t+1)(t_1+1)=n+t_1+t_2+1$.

Đến đây ta chỉ cần tìm giá trị nhỏ nhất của $t_1+t_2$ thôi. Trong những cặp số không âm có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hiệu nhỏ nhất, Dựa vào biểu thức $4mn+(m-n)^2=(m+n)^2$. Từ đây dễ dàng suy ra $t_1=a,t_2=k$

P/s:Lâu lâu ghé thăm diễn đàn lấy chút không khí của toán, rất vui là các bạn tham gia rất nhiệt tình, không định post bài đâu nhưng trông thấy ava của bạn nên nghĩ lại

 

Mình vẫn chưa hiểu đoạn màu đỏ, bạn có thể trình bày cụ thể dùm mình.

[Karl Heinrich Marx]

Mình vẫn chưa hiểu đoạn màu đỏ, bạn có thể trình bày cụ thể dùm mình.

Uh nhầm lẫn 1 chút là đoạn đấy $(t+1)(t_1+1)=n+t+t_1+1$ trong đó $t.t_1=n$

bây giờ cần xác định $t$ và $t_1$ sao cho $b$ nhỏ nhất. Bài toán bảo chứng minh thì bây giờ xoay nó thành tìm số $b$ nhỏ nhất thỏa mãn, vì $b=n+t+t_1+1$ nên $b$ nhỏ nhất khi $t+t_1$ nhỏ nhất, mà ta có $(t+t_1)^2=4t.t_1+(t-t_1)^2=4n+(t-t_1)^2$, theo định nghĩa của $a$ thì rõ ràng $a$ và $k=\frac{n}{a}$ là cặp có hiệu nhỏ nhất trong các cặp số có tích bằng $n$. suy ra $t=a,t_1=k$ hoặc ngược lại. Nói chung đều ra kq $b=(a+1)(k+1)$