a)
Vì $ BM \bot AC$
Mà $BM \bot SA( SA \bot (ABCD))$
Vậy $BM \bot (SAC)$
Mà $BM \in (SBM)$
Vậy $ (SBM) \bot (SAC)$.
b)
Xét $ \Delta SAB$ vuông tại $A$ có $\widehat{SBA}=45^{\circ}$; cạnh $SA=AB=a\sqrt{2}$.
Mà $BC \bot AB$
$ BC \bot SA ( SA \bot (ABCD))$
$\rightarrow BC \bot (SBA)$
$\rightarrow BC \bot SB$
Xét $\Delta SBC \bot$ tại $B$ có $ SB=BC= a\sqrt{2}$
$\rightarrow \widehat{SBC}=45^{\circ}=\widehat{(SC;(SAB))}$
c)
Trên $AD$ lấy điểm $F$ sao cho $FD=2AF$
$\rightarrow FI // DC;\rightarrow CD // (SFI) $
Trên $mp(SAD)$ kéo dài $SF$; trên $SF$ lấy $M$ sao cho $MD \bot SF$
Xét $\Delta AFS\sim\Delta DMF $
$\rightarrow \frac{MD}{SA}=\frac{DF}{FS}=\frac{\frac{2a\sqrt{2}}{3}}{\frac{a\sqrt{11}}{3}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{11}}$
$\rightarrow MD=\frac{2a\sqrt{22}}{11}=d_{(DC,(SFI))}=d_{(SI;DC)}$
d)
Trên $mp(SAD)$ kẻ $AH \bot SD(H \in SD)$
Trên $mp(SDC)$ kẻ $HI // DC (I \in SC)$
Vây $mp(P)$ cần tìm là $mp(AHIB)$
Xét $\Delta SAD \bot$ tại $A$ có $AH \bot SD$
$\rightarrow AH= \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
$\rightarrow SH=\frac{a}{\sqrt{3}};HD=\frac{2a}{\sqrt{3}}$
$\frac{SH}{SD}=\frac{SI}{IC}=\frac{1}{3}$
Mà ta có : $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SA.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.a.a^{2}\sqrt{2}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{3}$
$\rightarrow V_{S.ADC}=V_{S.ABC}=\frac{1}{2}.V_{S.ABCD}=\frac{1}{2}.\frac{a^{3}\sqrt{2}}{3}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}$
Vậy:
+)$\frac{V_{S.AHI}}{V_{SADC}}=\frac{SA}{SA}.\frac{SH}{SD}.\frac{SI}{IC}=1.\frac{1}{3}.\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$
$\rightarrow V_{AHI}=\frac{1}{9}.V_{S.ADC}=\frac{1}{9}.\frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{54}$
+)$\frac{V_{S.ABI}}{V_{S.ABC}}=\frac{SA}{SA}.\frac{SI}{IC}.\frac{SB}{SB}=1.\frac{1}{3}.1=\frac{1}{3}$
$\rightarrow V_{S.ABI}=\frac{1}{3}.V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.\frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{18}$
Vậy:
$V_{S.AHIB}=V_{S.AHI}+V_{S.ABI}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{54}+\frac{a^{3}\sqrt{2}}{18}=\frac{2a^{3}\sqrt{2}}{27}$
$\rightarrow V_{AHIBDC}=V_{S.ABCD}-V_{S.AHIB}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{3}-\frac{2a^{3}\sqrt{2}}{27}=\frac{7a^{3}\sqrt{2}}{27}$.
