Chủ đề này có 2 trả lời

[rongtuongduong91]

Cho x,y,z dương sao cho $x \leq 1, y\leq 2$ và $x + y + z = 5$. Chứng minh  $xyz \leq 4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 18-08-2013 - 21:14

[luuvanthai]

$xyz=5xy-(x+y)xy$

$f'(x)=5y-2xy-y^{2}=y(5-2x-y)> 0$(do $x\leq 1;0< y\leq 2$

$\Rightarrow f(x)\leq f(1)=y(4-y)\leq 4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 18-08-2013 - 21:16

[25 minutes]

Cho x,y,z dương sao cho $x \leq 1, y\leq 2$ và $x + y + z = 5$. Chứng minh  $xyz \leq 4$

Cách khác : 

Đặt $x=1-a, y=2-b$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a \in \left [ 0;1 \right ),b \in \left [ 0;2 \right )\\ c=2+a+b \end{matrix}\right.$

Ta có $xyz\leqslant 4\Leftrightarrow (1-a)(2-b)(2+a+b)\leqslant 4$

$\Leftrightarrow 2a^2+2a+ab+b^2-a^2b-b^2a\geqslant 0$

$\Leftrightarrow a^2(2-b)+2a+ab+b^2(1-a)\geqslant 0$

Nhưng rõ ràng bất đẳng thức đã cho luôn đúng 

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=0$, hay $x=1,y=z=2$