Cho x,y,z dương sao cho $x \leq 1, y\leq 2$ và $x + y + z = 5$. Chứng minh $xyz \leq 4$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 18-08-2013 - 21:14
Cho x,y,z dương sao cho $x \leq 1, y\leq 2$ và $x + y + z = 5$. Chứng minh $xyz \leq 4$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 18-08-2013 - 21:14
$xyz=5xy-(x+y)xy$
$f'(x)=5y-2xy-y^{2}=y(5-2x-y)> 0$(do $x\leq 1;0< y\leq 2$
$\Rightarrow f(x)\leq f(1)=y(4-y)\leq 4$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 18-08-2013 - 21:16
Cho x,y,z dương sao cho $x \leq 1, y\leq 2$ và $x + y + z = 5$. Chứng minh $xyz \leq 4$
Cách khác :
Đặt $x=1-a, y=2-b$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a \in \left [ 0;1 \right ),b \in \left [ 0;2 \right )\\ c=2+a+b \end{matrix}\right.$
Ta có $xyz\leqslant 4\Leftrightarrow (1-a)(2-b)(2+a+b)\leqslant 4$
$\Leftrightarrow 2a^2+2a+ab+b^2-a^2b-b^2a\geqslant 0$
$\Leftrightarrow a^2(2-b)+2a+ab+b^2(1-a)\geqslant 0$
Nhưng rõ ràng bất đẳng thức đã cho luôn đúng
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=0$, hay $x=1,y=z=2$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh