Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

1 Mở Rộng của bài 6 IMO 2005


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 uyenha

uyenha

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 20-08-2013 - 16:36

Trong một kì thi học sinh giỏi,các thí sinh phải giải 6 bài toán.Biết rằng với 2 bài toán bất kì luôn có nhìu hơn $\frac{2}{5}$ số thí sinh dự thi giải được cả 2 bài toán này.Ngoài ra không có thí sinh nào giải được cả 6 bài
a)CMR tồn tại 3 bài toán có nhiều hơn $\frac{1}{5}$ thí sinh dự thi giải được

b)CMR tồn tại 4 bài toán có nhiều hơn $\frac{1}{15}$ thí sinh dự thi giải được

 


đừng nghĩ LIKE và LOVE giống nhau...
giữa LIKE và LOVE chữ cái I đã chuyển thành O,tức là Important:quan trọng đã trở thành Only:duy nhất.
chữ cái K đã chuyển thành V:Keen:say mê đã trở thành Vascurla :ăn vào mạch máu.
vì thế đừng hỏi tại sao
lim(LIKE)=LOVE nhưng lim(LOVE) =$\infty$

#2 LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũ Trụ
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 20-08-2013 - 21:16

Trong một kì thi học sinh giỏi,các thí sinh phải giải 6 bài toán.Biết rằng với 2 bài toán bất kì luôn có nhìu hơn $\frac{2}{5}$ số thí sinh dự thi giải được cả 2 bài toán này.Ngoài ra không có thí sinh nào giải được cả 6 bài
a)CMR tồn tại 3 bài toán có nhiều hơn $\frac{1}{5}$ thí sinh dự thi giải được

b)CMR tồn tại 4 bài toán có nhiều hơn $\frac{1}{15}$ thí sinh dự thi giải được

Thực chất bài này chỉ lấy ý tưởng chứng minh phần đầu của bài IMO 2006 thôi, chứ dễ hơn nhiều :biggrin:

a) Gọi $n$ là số thí sinh, $x_i$ là số các thí sinh giải được đúng $i$ bài, $s\left ( i,j,k \right )$ là số thí sinh giải được bài $i,j,k$

Gs không tồn tại 3 bài thoả mãn đk

Khi đó $s\left ( i,j,k \right )\leq \frac{1}{5}n$

Đặt $S=\sum_{i<j<k}s\left ( i,j,k \right )$

Ta có $S\leq 4n=4\left ( x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5} \right )$

Mặt khác, $S=x_{3}+4x_{4}+10x_{5}$

$\Rightarrow x_{3}+4x_{4}+10x_{5}\leq 4 \left (x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5} \right )$

$\Leftrightarrow 6x_{5}\leq 4x_{0}+4x_{1}+4x_{2}+3x_{3}$

Xây dựng tương tự và để ý rằng $s\left ( i,j \right )\geq \frac{2n+1}{5}$, ta có

$4x_{5}\geq 6x_{0}+6x_{1}+5x_{2}+3x_{3}+3$

$\Rightarrow 6x_{0}+6x_{1}+5x_{2}+3x_{3}+3\leq 4x_{5}\leq 6x_{5}\leq 4x_{0}+4x_{1}+4x_{2}+3x_{3}$

$\Leftrightarrow 2x_{0}+2x_{1}+x_{2}+3\leq 0$ (vô lí)

Suy ra đpcm

b) Giải tương tự như câu a

================================================================================

Nói thật bài này khá khó, cảm ơn cái avatar của bạn đã tiếp thêm động lực cho mình :biggrin:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lenhathoang1998: 20-08-2013 - 21:17


#3 toanhoc2017

toanhoc2017

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 606 Bài viết

Đã gửi 26-07-2019 - 15:39

Thực chất bài này chỉ lấy ý tưởng chứng minh phần đầu của bài IMO 2006 thôi, chứ dễ hơn nhiều :biggrin:

a) Gọi $n$ là số thí sinh, $x_i$ là số các thí sinh giải được đúng $i$ bài, $s\left ( i,j,k \right )$ là số thí sinh giải được bài $i,j,k$

Gs không tồn tại 3 bài thoả mãn đk

Khi đó $s\left ( i,j,k \right )\leq \frac{1}{5}n$

Đặt $S=\sum_{i<j<k}s\left ( i,j,k \right )$

Ta có $S\leq 4n=4\left ( x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5} \right )$

Mặt khác, $S=x_{3}+4x_{4}+10x_{5}$

$\Rightarrow x_{3}+4x_{4}+10x_{5}\leq 4 \left (x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5} \right )$

$\Leftrightarrow 6x_{5}\leq 4x_{0}+4x_{1}+4x_{2}+3x_{3}$

Xây dựng tương tự và để ý rằng $s\left ( i,j \right )\geq \frac{2n+1}{5}$, ta có

$4x_{5}\geq 6x_{0}+6x_{1}+5x_{2}+3x_{3}+3$

$\Rightarrow 6x_{0}+6x_{1}+5x_{2}+3x_{3}+3\leq 4x_{5}\leq 6x_{5}\leq 4x_{0}+4x_{1}+4x_{2}+3x_{3}$

$\Leftrightarrow 2x_{0}+2x_{1}+x_{2}+3\leq 0$ (vô lí)

Suy ra đpcm

b) Giải tương tự như câu a

================================================================================

Nói thật bài này khá khó, cảm ơn cái avatar của bạn đã tiếp thêm động lực cho mình :biggrin:

CÓ THÊM MỞ RỘNG NỮA ĐÓ BẠN ,BÀI NÀY RẤT HAY






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh