Chủ đề này có 2 trả lời

[uyenha]

Trong một kì thi học sinh giỏi,các thí sinh phải giải 6 bài toán.Biết rằng với 2 bài toán bất kì luôn có nhìu hơn $\frac{2}{5}$ số thí sinh dự thi giải được cả 2 bài toán này.Ngoài ra không có thí sinh nào giải được cả 6 bài
a)CMR tồn tại 3 bài toán có nhiều hơn $\frac{1}{5}$ thí sinh dự thi giải được

b)CMR tồn tại 4 bài toán có nhiều hơn $\frac{1}{15}$ thí sinh dự thi giải được

 

[LNH]

Trong một kì thi học sinh giỏi,các thí sinh phải giải 6 bài toán.Biết rằng với 2 bài toán bất kì luôn có nhìu hơn $\frac{2}{5}$ số thí sinh dự thi giải được cả 2 bài toán này.Ngoài ra không có thí sinh nào giải được cả 6 bài
a)CMR tồn tại 3 bài toán có nhiều hơn $\frac{1}{5}$ thí sinh dự thi giải được

b)CMR tồn tại 4 bài toán có nhiều hơn $\frac{1}{15}$ thí sinh dự thi giải được

Thực chất bài này chỉ lấy ý tưởng chứng minh phần đầu của bài IMO 2006 thôi, chứ dễ hơn nhiều

a) Gọi $n$ là số thí sinh, $x_i$ là số các thí sinh giải được đúng $i$ bài, $s\left ( i,j,k \right )$ là số thí sinh giải được bài $i,j,k$

Gs không tồn tại 3 bài thoả mãn đk

Khi đó $s\left ( i,j,k \right )\leq \frac{1}{5}n$

Đặt $S=\sum_{i<j<k}s\left ( i,j,k \right )$

Ta có $S\leq 4n=4\left ( x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5} \right )$

Mặt khác, $S=x_{3}+4x_{4}+10x_{5}$

$\Rightarrow x_{3}+4x_{4}+10x_{5}\leq 4 \left (x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5} \right )$

$\Leftrightarrow 6x_{5}\leq 4x_{0}+4x_{1}+4x_{2}+3x_{3}$

Xây dựng tương tự và để ý rằng $s\left ( i,j \right )\geq \frac{2n+1}{5}$, ta có

$4x_{5}\geq 6x_{0}+6x_{1}+5x_{2}+3x_{3}+3$

$\Rightarrow 6x_{0}+6x_{1}+5x_{2}+3x_{3}+3\leq 4x_{5}\leq 6x_{5}\leq 4x_{0}+4x_{1}+4x_{2}+3x_{3}$

$\Leftrightarrow 2x_{0}+2x_{1}+x_{2}+3\leq 0$ (vô lí)

Suy ra đpcm

b) Giải tương tự như câu a

================================================================================

Nói thật bài này khá khó, cảm ơn cái avatar của bạn đã tiếp thêm động lực cho mình

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lenhathoang1998: 20-08-2013 - 21:17

[toanhoc2017]

Thực chất bài này chỉ lấy ý tưởng chứng minh phần đầu của bài IMO 2006 thôi, chứ dễ hơn nhiều

a) Gọi $n$ là số thí sinh, $x_i$ là số các thí sinh giải được đúng $i$ bài, $s\left ( i,j,k \right )$ là số thí sinh giải được bài $i,j,k$

Gs không tồn tại 3 bài thoả mãn đk

Khi đó $s\left ( i,j,k \right )\leq \frac{1}{5}n$

Đặt $S=\sum_{i<j<k}s\left ( i,j,k \right )$

Ta có $S\leq 4n=4\left ( x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5} \right )$

Mặt khác, $S=x_{3}+4x_{4}+10x_{5}$

$\Rightarrow x_{3}+4x_{4}+10x_{5}\leq 4 \left (x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5} \right )$

$\Leftrightarrow 6x_{5}\leq 4x_{0}+4x_{1}+4x_{2}+3x_{3}$

Xây dựng tương tự và để ý rằng $s\left ( i,j \right )\geq \frac{2n+1}{5}$, ta có

$4x_{5}\geq 6x_{0}+6x_{1}+5x_{2}+3x_{3}+3$

$\Rightarrow 6x_{0}+6x_{1}+5x_{2}+3x_{3}+3\leq 4x_{5}\leq 6x_{5}\leq 4x_{0}+4x_{1}+4x_{2}+3x_{3}$

$\Leftrightarrow 2x_{0}+2x_{1}+x_{2}+3\leq 0$ (vô lí)

Suy ra đpcm

b) Giải tương tự như câu a

================================================================================

Nói thật bài này khá khó, cảm ơn cái avatar của bạn đã tiếp thêm động lực cho mình

CÓ THÊM MỞ RỘNG NỮA ĐÓ BẠN ,BÀI NÀY RẤT HAY