Giải
Dựng OK $\perp$ BC, OH $\perp$ AK
Theo giả thiết: OA, OB, OC đôi một vuông góc. Vậy: OA $\perp$ OB và OA $\perp$ OC.
$\Rightarrow$ OA $\perp$ (OBC) $\Rightarrow$ OA $\perp$ OK. Hay: Tam giác OAK vuông tại O.
Do OA $\perp$ (OBC) nên BC $\perp$ OA. Mà OK $\perp$ BC nên BC $\perp$ (OAK).
Suy ra: BC $\perp$ AK
Điều này chứng tỏ: $\widehat{\left ( (OBC); (ABC)\right )} = \widehat{OKA} = \alpha$
Nhận thấy: OH $\perp$ AK mà tam giác AOK vuông.
Do đó: $\widehat{OKA} = \widehat{HOA} \Rightarrow \cos{\alpha} = \dfrac{OH}{OA}$
Chứng minh tương tự, ta có: $\cos{\beta} = \dfrac{OH}{OB}; \cos{\gamma} = \dfrac{OH}{OC}$
Mặt khác: $\dfrac{1}{OH^2} = \dfrac{1}{OA^2} + \dfrac{1}{OK^2} = \dfrac{1}{OA^2} + \dfrac{1}{OB^2} + \dfrac{1}{OC^2}$
$\Rightarrow \cos^2{\alpha} + \cos^2{\beta} + \cos^2{\gamma} = 1$
Ta có: $\dfrac{\tan^2{\alpha}}{4} + \cot^2{\alpha} \geq 2\sqrt{\dfrac{\cot^2{\alpha}\tan^2{\alpha}}{4}} = 1$
Vì vậy:
$P = \tan^2{\alpha} + \tan^2{\beta} + \tan^2{\gamma} + \cot^2{\alpha} + \cot^2{\beta} + \cot^2{\gamma}$
$\geq 3 + \dfrac{3}{4} \left ( \tan^2{\alpha} + \tan^2{\beta} + \tan^2{\gamma}\right ) $
$= 3 + \dfrac{3}{4} \left ( \dfrac{1}{\cos^2{\alpha}} + \dfrac{1}{\cos^2{\beta}} + \dfrac{1}{\cos^2{\gamma}} - 3\right ) $
$\geq 3 + \dfrac{3}{4} \left ( \dfrac{9}{\cos^2{\alpha} + \cos^2{\beta} + \cos^2{\gamma}} - 3 \right ) = \dfrac{15}{2}$
Vậy, $Min_P = \dfrac{15}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi: $\cos{\alpha} = \cos{\beta} = \cos{\gamma} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 20-08-2013 - 21:41