Đến nội dung

Hình ảnh

Tính thể tích khối tứ diện $ABCD$ và khoảng cách giữa 2 đường thẳng $ AD;BC$

- - - - - hình học không gian

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
tanh

tanh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 298 Bài viết

Tứ diện $ABCD$ có $ AB=AC=AD=a ; \widehat{BAC}=120^{\circ}; \widehat{BAD}=60^{\circ}$ và $\Delta BCD \bot$ vuông tại $D$ . Tính thể tích khối tứ diện $ABCD$ và khoảng cách giữa 2 đường thẳng $ AD;BC$ 


Khi để bàn tay bạn trên lò lửa một phút , ta tưởng như lâu một giờ . Khi ngồi gần cô gái đẹp một giờ ta tưởng chỉ mới một phút. Ðó là sự tương đối.

#2
Phạm Hữu Bảo Chung

Phạm Hữu Bảo Chung

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1360 Bài viết
Giải
a) Theo định lý hàm số cos, tính được: $BC = a\sqrt{3}; BD = a$
Tam giác BDC vuông tại D nên suy ra $DC = a\sqrt{2}$
Do đó: $S_{\triangle BDC} = \dfrac{a^2\sqrt{2}}{2}$
 
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và BD.
- Do $\triangle$ ABD cân tại A $\Rightarrow$ AN $\perp$ BD
- M, N là trung điểm BC, BD $\Rightarrow $ MN // DC $\Rightarrow$ MN $\perp$ BD
Vậy: BD $\perp$ (AMN) $\Rightarrow$ BD $\perp$ AM
 
Mặt khác: $\triangle$ ABC cân tại A $\Rightarrow$ AM $\perp$ BC
Suy ra: AM $\perp$ (BCD) hay AM là đường cao của tứ diện.
 
Từ đó ta tính được: $V = \dfrac{1}{3}AM.S_{\triangle BDC} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{a^2\sqrt{2}}{2} = \dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}$
 
b) Dựng DE // BC, MH $\perp$ DE, MK $\perp$ AH
Ta có: $BC \perp MH$ và BC $\perp$ AM nên BC $\perp$ (AMH) 
$\Rightarrow$ BC $\perp$ MK $\Rightarrow$ DE $\perp$ MK
Mà MK $\perp$ AH. Điều này chứng tỏ: MK $\perp$ (ADE)
Khi đó: $d_{(BC; AD)} = d_{(BC; (ADE))} = d_{(M; (ADE))} = MK$
 
Dễ dàng tính được: $MH = \dfrac{BD.DC}{BC} = a\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
Trong tam giác vuông AMH (vuông tại M), ta có:
$\dfrac{1}{MK^2} = \dfrac{1}{AM^2} + \dfrac{1}{MH^2} = \dfrac{11a^2}{2} \Rightarrow MK = \dfrac{a\sqrt{22}}{11}$

Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế :)

#3
donghaidhtt

donghaidhtt

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 494 Bài viết

 

Giải
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và BD.
- Do $\triangle$ ABD cân tại A $\Rightarrow$ AN $\perp$ BD
- M, N là trung điểm BC, BD $\Rightarrow $ MN // DC $\Rightarrow$ MN $\perp$ BD
Vậy: BD $\perp$ (AMN) $\Rightarrow$ BD $\perp$ AM
 
Mặt khác: $\triangle$ ABC cân tại A $\Rightarrow$ AM $\perp$ BC
Suy ra: AM $\perp$ (BCD) hay AM là đường cao của tứ diện.

Mình có ý kiến về đoạn này, có thể chứng minh ngắn hơn: $\left\{\begin{matrix} AD=AB=AC\\ MB=MC=MD \end{matrix}\right.$

nên $AM$ là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$. Từ đó $AM$ vuông với $(BCD)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi donghaidhtt: 21-08-2013 - 11:46


#4
Phạm Hữu Bảo Chung

Phạm Hữu Bảo Chung

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1360 Bài viết

Mình có ý kiến về đoạn này, có thể chứng minh ngắn hơn: $\left\{\begin{matrix} AD=AB=AC\\ MB=MC=MD \end{matrix}\right.$

nên $AM$ là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$. Từ đó $AM$ vuông với $(BCD)$

Ừ! Tớ chưa được về cái đó :) Dù sao cũng cảm ơn cậu nhé!


Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế :)





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học không gian

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh