Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2} + \frac{bc^2}{b^2+2c^2+a^2} + \frac{ca^2}{c^2+2a^2+b^2}$ $\leq$ $\frac{a+b+c}{4}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 VodichIMO

VodichIMO

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT chuyên Hà Tĩnh.
  • Sở thích:Chơi game, xem đá bóng, nghe nhạc, làm toán,...

Đã gửi 20-08-2013 - 22:12

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

 

  $\frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2} + \frac{bc^2}{b^2+2c^2+a^2} + \frac{ca^2}{c^2+2a^2+b^2}$ $\leq$ $\frac{a+b+c}{4}$

 


BẤT ĐẲNG THỨC CHÍNH LÀ THUỐC PHIỆN CỦA TOÁN HỌC  :namtay


#2 Supermath98

Supermath98

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 512 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Toán;Thơ;đá bóng;...

Đã gửi 20-08-2013 - 22:47

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

 

  $\frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2} + \frac{bc^2}{b^2+2c^2+a^2} + \frac{ca^2}{c^2+2a^2+b^2}$ $\leq$ $\frac{a+b+c}{4}$

Áp dụng BĐT $\large \frac{1}{x+y}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )$ ta có: 

$\large \frac{ab^{2}}{a^{2}+b^{2}+b^{2}+c^{2}}\leq \frac{ab^{2}}{4}\left ( \frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}} \right )$

Tương tự với 2 cái kia. 

Do đó ta có: $\large VT\leq \frac{1}{4}\left ( \sum \frac{ab^{2}+a^{2}c}{a^{2}+b^{2}} \right )=\frac{1}{4}A$

Ta lại có: $\large \frac{ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}\leq \frac{ab^{2}}{2ab}=\frac{b}{2}$

                $\large \frac{a^{2}c}{a^{2}+b^{2}}\leq \frac{ac}{2b}$

Tương tự con lại

Do đó: $\large A\leq \frac{a+b+c}{2}+\frac{ac}{2b}+\frac{ab}{2c}+\frac{bc}{2a}= B$

Theo bài ra ta cần chứng minh: $\large B\leq a+b+c$ hay $\large \sum \frac{ac}{b}\leq a+b+c$        (1)

Mà (1) ở đây ngược nên có lẽ nào?????


:icon12: :icon12: :icon12: Đừng bao giờ ngồi một chỗ và ước. Hãy đứng dậy và làm:icon12: :icon12: :icon12:

#3 letankhang

letankhang

    $\sqrt{MF}'s$ $member$

  • Thành viên
  • 1079 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\sqrt{MF}$
  • Sở thích:$Maths$

Đã gửi 20-08-2013 - 22:50

Áp dụng BĐT $\large \frac{1}{x+y}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )$ ta có: 

$\large \frac{ab^{2}}{a^{2}+b^{2}+b^{2}+c^{2}}\leq \frac{ab^{2}}{4}\left ( \frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}} \right )$

Tương tự với 2 cái kia. 

Do đó ta có: $\large VT\leq \frac{1}{4}\left ( \sum \frac{ab^{2}+a^{2}c}{a^{2}+b^{2}} \right )=\frac{1}{4}A$

Ta lại có: $\large \frac{ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}\leq \frac{ab^{2}}{2ab}=\frac{b}{2}$

                $\large \frac{a^{2}c}{a^{2}+b^{2}}\leq \frac{ac}{2b}$

Tương tự con lại

Do đó: $\large A\leq \frac{a+b+c}{2}+\frac{ac}{2b}+\frac{ab}{2c}+\frac{bc}{2a}= B$

Theo bài ra ta cần chứng minh: $\large B\leq a+b+c$ hay $\large \sum \frac{ac}{b}\leq a+b+c$        (1)

Mà (1) ở đây ngược nên có lẽ nào?????

Có lẽ là :

Thứ 1 là cách bạn không làm tiếp được nữa cần có hướng đi khác ( mình nghĩ vậy hoặc bạn bị sai chỗ nào đó ) @@

Thứ 2 là đề sai =='


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 20-08-2013 - 22:51

        :oto:   :nav:  :wub:  $\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $  :wub:   :nav:  :oto:            

  $\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$

 

 


#4 VodichIMO

VodichIMO

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT chuyên Hà Tĩnh.
  • Sở thích:Chơi game, xem đá bóng, nghe nhạc, làm toán,...

Đã gửi 20-08-2013 - 22:50

Áp dụng BĐT $\large \frac{1}{x+y}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )$ ta có: 

$\large \frac{ab^{2}}{a^{2}+b^{2}+b^{2}+c^{2}}\leq \frac{ab^{2}}{4}\left ( \frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}} \right )$

Tương tự với 2 cái kia. 

Do đó ta có: $\large VT\leq \frac{1}{4}\left ( \sum \frac{ab^{2}+a^{2}c}{a^{2}+b^{2}} \right )=\frac{1}{4}A$

Ta lại có: $\large \frac{ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}\leq \frac{ab^{2}}{2ab}=\frac{b}{2}$

                $\large \frac{a^{2}c}{a^{2}+b^{2}}\leq \frac{ac}{2b}$

Tương tự con lại

Do đó: $\large A\leq \frac{a+b+c}{2}+\frac{ac}{2b}+\frac{ab}{2c}+\frac{bc}{2a}= B$

Theo bài ra ta cần chứng minh: $\large B\leq a+b+c$ hay $\large \sum \frac{ac}{b}\leq a+b+c$        (1)

Mà (1) ở đây ngược nên có lẽ nào?????

 

mà A là gì, B là gì vậy bạn


BẤT ĐẲNG THỨC CHÍNH LÀ THUỐC PHIỆN CỦA TOÁN HỌC  :namtay


#5 andymurray44

andymurray44

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Hà Nội Amsterdam

Đã gửi 21-08-2013 - 11:38

Mình nghĩ là bài toán này thiếu ĐK,thêm a+b+c=3






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh