Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2} + \frac{bc^2}{b^2+2c^2+a^2} + \frac{ca^2}{c^2+2a^2+b^2}$ $\leq$ $\frac{a+b+c}{4}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
VodichIMO

VodichIMO

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

 

  $\frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2} + \frac{bc^2}{b^2+2c^2+a^2} + \frac{ca^2}{c^2+2a^2+b^2}$ $\leq$ $\frac{a+b+c}{4}$

 


BẤT ĐẲNG THỨC CHÍNH LÀ THUỐC PHIỆN CỦA TOÁN HỌC  :namtay


#2
Supermath98

Supermath98

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 512 Bài viết

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

 

  $\frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2} + \frac{bc^2}{b^2+2c^2+a^2} + \frac{ca^2}{c^2+2a^2+b^2}$ $\leq$ $\frac{a+b+c}{4}$

Áp dụng BĐT $\large \frac{1}{x+y}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )$ ta có: 

$\large \frac{ab^{2}}{a^{2}+b^{2}+b^{2}+c^{2}}\leq \frac{ab^{2}}{4}\left ( \frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}} \right )$

Tương tự với 2 cái kia. 

Do đó ta có: $\large VT\leq \frac{1}{4}\left ( \sum \frac{ab^{2}+a^{2}c}{a^{2}+b^{2}} \right )=\frac{1}{4}A$

Ta lại có: $\large \frac{ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}\leq \frac{ab^{2}}{2ab}=\frac{b}{2}$

                $\large \frac{a^{2}c}{a^{2}+b^{2}}\leq \frac{ac}{2b}$

Tương tự con lại

Do đó: $\large A\leq \frac{a+b+c}{2}+\frac{ac}{2b}+\frac{ab}{2c}+\frac{bc}{2a}= B$

Theo bài ra ta cần chứng minh: $\large B\leq a+b+c$ hay $\large \sum \frac{ac}{b}\leq a+b+c$        (1)

Mà (1) ở đây ngược nên có lẽ nào?????


:icon12: :icon12: :icon12: Đừng bao giờ ngồi một chỗ và ước. Hãy đứng dậy và làm:icon12: :icon12: :icon12:

#3
letankhang

letankhang

    $\sqrt{MF}'s$ $member$

  • Thành viên
  • 1079 Bài viết

Áp dụng BĐT $\large \frac{1}{x+y}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )$ ta có: 

$\large \frac{ab^{2}}{a^{2}+b^{2}+b^{2}+c^{2}}\leq \frac{ab^{2}}{4}\left ( \frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}} \right )$

Tương tự với 2 cái kia. 

Do đó ta có: $\large VT\leq \frac{1}{4}\left ( \sum \frac{ab^{2}+a^{2}c}{a^{2}+b^{2}} \right )=\frac{1}{4}A$

Ta lại có: $\large \frac{ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}\leq \frac{ab^{2}}{2ab}=\frac{b}{2}$

                $\large \frac{a^{2}c}{a^{2}+b^{2}}\leq \frac{ac}{2b}$

Tương tự con lại

Do đó: $\large A\leq \frac{a+b+c}{2}+\frac{ac}{2b}+\frac{ab}{2c}+\frac{bc}{2a}= B$

Theo bài ra ta cần chứng minh: $\large B\leq a+b+c$ hay $\large \sum \frac{ac}{b}\leq a+b+c$        (1)

Mà (1) ở đây ngược nên có lẽ nào?????

Có lẽ là :

Thứ 1 là cách bạn không làm tiếp được nữa cần có hướng đi khác ( mình nghĩ vậy hoặc bạn bị sai chỗ nào đó ) @@

Thứ 2 là đề sai =='


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 20-08-2013 - 22:51

        :oto:   :nav:  :wub:  $\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $  :wub:   :nav:  :oto:            

  $\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$

 

 


#4
VodichIMO

VodichIMO

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết

Áp dụng BĐT $\large \frac{1}{x+y}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )$ ta có: 

$\large \frac{ab^{2}}{a^{2}+b^{2}+b^{2}+c^{2}}\leq \frac{ab^{2}}{4}\left ( \frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}} \right )$

Tương tự với 2 cái kia. 

Do đó ta có: $\large VT\leq \frac{1}{4}\left ( \sum \frac{ab^{2}+a^{2}c}{a^{2}+b^{2}} \right )=\frac{1}{4}A$

Ta lại có: $\large \frac{ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}\leq \frac{ab^{2}}{2ab}=\frac{b}{2}$

                $\large \frac{a^{2}c}{a^{2}+b^{2}}\leq \frac{ac}{2b}$

Tương tự con lại

Do đó: $\large A\leq \frac{a+b+c}{2}+\frac{ac}{2b}+\frac{ab}{2c}+\frac{bc}{2a}= B$

Theo bài ra ta cần chứng minh: $\large B\leq a+b+c$ hay $\large \sum \frac{ac}{b}\leq a+b+c$        (1)

Mà (1) ở đây ngược nên có lẽ nào?????

 

mà A là gì, B là gì vậy bạn


BẤT ĐẲNG THỨC CHÍNH LÀ THUỐC PHIỆN CỦA TOÁN HỌC  :namtay


#5
andymurray44

andymurray44

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

Mình nghĩ là bài toán này thiếu ĐK,thêm a+b+c=3






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh