Đến nội dung

Hình ảnh

1 số bài toán về phương trình nghiệm nguyên

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
wowwow01

wowwow01

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

1/ Pt sau có bao nhiêu nghiệm nguyên:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{10}$

2/Tìm các số nguyên x sao cho $\frac{x-17}{x-9}$ là bình phương của 1 số hữu tỷ

3/ tìm nghiệm nguyên dương của pt:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{6xy}=\frac{1}{6}$

4/ Giải phương trình $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{p}$ với x,y là STN khác nhau và p là số nguyên tố 

5/$\frac{xy}{x+y}=\frac{2003}{2004}$

 



#2
Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

1/ Pt sau có bao nhiêu nghiệm nguyên:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{10}$

2/Tìm các số nguyên x sao cho $\frac{x-17}{x-9}$ là bình phương của 1 số hữu tỷ

3/ tìm nghiệm nguyên dương của pt:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{6xy}=\frac{1}{6}$

4/ Giải phương trình $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{p}$ với x,y là STN khác nhau và p là số nguyên tố 

5/$\frac{xy}{x+y}=\frac{2003}{2004}$

1/Với x,y khác 0 thì pt trở thành 

$xy=10(x+y)$

$\Leftrightarrow (x-10)(y-10)=100$ (2)

Ta thấy 100=$2^2.5^2$ do đó 100 có 9 ước tự nhiên, có 18 ước nguyên

Vậy pt (2) có 18 nghiêm nguyên tính cả cặp x=y=0 

nên pt(1) có 17 nghiệm nguyên


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 22-08-2013 - 14:31


#3
wowwow01

wowwow01

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

1/Với x,y khác 0 thì pt trở thành 

$xy=10(x+y)$

$\Leftrightarrow (x-10)(y-10)=100$ (2)

Ta thấy 100=$2^2.5^2$ do đó 100 có 9 ước tự nhiên, có 18 ước nguyên

Vậy pt (2) có 18 nghiêm nguyên tính cả cặp x=y=0 

nên pt(1) có 16 nghiệm nguyên

17 nghiệm nguyên chứ bạn 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wowwow01: 22-08-2013 - 14:30


#4
Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

17 nghiệm nguyên chứ bạn 

ok mình sửa lại rùi!



#5
Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

Bài 2 nhé:

Giả sử $\frac{x-17}{x-9}=(\frac{a}{b})^2$

Xét a=0 thì x=17

Xét a khác 0 thì không mất tính tổng quát giả sử UCLN (a,b)=1

Do đó UCLN($a^2;b^2$)=1 nên ta có hệ pt:

$\left\{\begin{matrix} x-17=a^2k & & \\ x-9=b^2k & & \end{matrix}\right.$ với k nguyên

$\Rightarrow (x-9)-(x-17)=(b^2-a^2)k$

$\Rightarrow 8 =(b-a)(b+a)k$

Ta thấy b+a và b-a là ước của 8. Do (b+a)-(b-a)=2a nên b+a,b-a cùng tính chẵn lẻ . Mà b+a>b-a nên b+a >0

Đến đây lập bảng xét giá trị ta được x=18,x=8

Vậy x=17;x=18;x=8 là đáp án của bài



#6
Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

3/ Nhân 2 vế của pt với 6xy, ta được

$6x+6y+1=xy$

Chuyển về pt ước số giải là ra bạn nhé!



#7
Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

Bài 4 :

Biến Đổi:

$(x-p)(y-p)=p^2$

ước của $p^2$ là $\underline{+}1,\underline{+}p^{2},\underline{+}p$

Giả sử x>y thì x-p>y-p

Xét cả 2 trường hợp 

+TH1:

$\left\{\begin{matrix} x-p=p^2 & & \\ y-p=1 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=p^2+p & & \\ y=1+p & & \end{matrix}\right.$

+TH2:

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-p=-1 & & \\ y-p=-p^2 & & \end{matrix}\right.$ 

Khi đó x>y thì x-p>y-p


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 22-08-2013 - 14:49


#8
duongtoi

duongtoi

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 747 Bài viết

5/$\frac{xy}{x+y}=\frac{2003}{2004}$

Ta có $0<\frac{xy}{x+y}=\frac{2003}{2004}<1$

Suy ra, có ít nhất một giá trị dương. Không mất tính tổng quát, giả sử là $x$.

Mặt khác, $\frac{x+y}{xy}>1\Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}>1$

- Nếu $|x|>2;|y|>2$ thì $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}<1$

- Nếu $x=2$ suy ra $\frac{1}{y}>\frac{1}{2}$. Suy ra $y=1$.

Thay lại vào PT ban đầu ta thấy không thỏa mãn nên loại.

- Nếu $x=1$ suy ra $\frac{1}{y}>0\Leftrightarrow y>0$.

Thay vào PT ban đầu ta được $\frac{y}{y+1}=\frac{2003}{2004}\Leftrightarrow y=2003$

Do vai trò của $x;y$ như nhau nên PT có nghiệm là $(1;2003);(2003;1)$.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh