Chủ đề này có 20 trả lời

[ILoveMathverymuch]

CMR không thể biểu diễn số nguyên tố nào thành tổng bình phương của 2 số tự nhiên theo 2 cách.

 

[tranducmanh2308]

CMR không thể biểu diễn số nguyên tố nào thành tổng bình phương của 2 số tự nhiên theo 2

Giả sử tồn tại p là số ng tố tm bài ra

đặt $p=a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}$ (1) (a,b,c,d là số tự nhiên,$a\neq b\neq c\neq d$)

xét p=2(ko tm)

do p là số ng tố nên $p\equiv 1(mod 4)$ hoặc $p\equiv 3(mod 4)$

Xét TH $p\equiv 1(mod 4)$:

không mất tính tổng quát ta giả sử :$b^{2},d^{2}\equiv 1(mod 4)$,$a^{2},c^{2}\equiv 0(mod 4)$

(1)$\Leftrightarrow a^{2}-c^{2}=b^{2}-d^{2}$

$\Leftrightarrow (a-c)(a+c)=(b-d)(b+d)$

mà $(a-c)(a+c)\vdots 16,(b-d)(b+d)\not\vdots 16$

$\Rightarrow$ vô lý

Xét TH $p\equiv 3(mod 4)$ ko thể xảy ra do số cp chỉ chia 4 dư 0 hoặc 1

Vậy ...............

[canhhoang30011999]

Giả sử tồn tại p là số ng tố tm bài ra

đặt $p=a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}$ (1) (a,b,c,d là số tự nhiên,$a\neq b\neq c\neq d$)

xét p=2(ko tm)

do p là số ng tố nên $p\equiv 1(mod 4)$ hoặc $p\equiv 3(mod 4)$

Xét TH $p\equiv 1(mod 4)$:

không mất tính tổng quát ta giả sử :$b^{2},d^{2}\equiv 1(mod 4)$,$a^{2},c^{2}\equiv 0(mod 4)$

(1)$\Leftrightarrow a^{2}-c^{2}=b^{2}-d^{2}$

$\Leftrightarrow (a-c)(a+c)=(b-d)(b+d)$

mà $(a-c)(a+c)\vdots 16,(b-d)(b+d)\not\vdots 16$

$\Rightarrow$ vô lý

Xét TH $p\equiv 3(mod 4)$ ko thể xảy ra do số cp chỉ chia 4 dư 0 hoặc 1

Vậy ...............

sao $\left ( b-d \right )\left ( b+d \right )$ ko chia hết cho 16

[tranducmanh2308]

sao $\left ( b-d \right )\left ( b+d \right )$ ko chia hết cho 16

chỉ cần xét b,d=4k+1 hoặc 4k+3 là xong

[ILoveMathverymuch]

sao $\left ( b-d \right )\left ( b+d \right )$ ko chia hết cho 16

Theo mình nghĩ thì (4k +2 -4k)(4k +2 +4k)=

(a-c)(a+c) ko chia hết cho 8 còn (b-d)(b+d) chia hết cho 8 nên vô lý.

Chứ 16 thì đâu phải nhỉ?

[canhhoang30011999]

Theo mình nghĩ thì (4k +2 -4k)(4k +2 +4k)=

(a-c)(a+c) ko chia hết cho 8 còn (b-d)(b+d) chia hết cho 8 nên vô lý.

Chứ 16 thì đâu phải nhỉ?

do $a,c\vdots 4$$\Rightarrow a-c\vdots 4,a+c\vdots 4$$\Rightarrow \left ( a-c \right )\left ( a+c \right )\vdots 16$

[canhhoang30011999]

chỉ cần xét b,d=4k+1 hoặc 4k+3 là xong

bạn giải cụ thể ra nào do k chẵn thì nó vẫn có thể chia hết cho 16 chứ sao

[ILoveMathverymuch]

do $a,c\vdots 4$$\Rightarrow a-c\vdots 4,a+c\vdots 4$$\Rightarrow \left ( a-c \right )\left ( a+c \right )\vdots 16$

thế mình dùng 8 được ko

[canhhoang30011999]

thế mình dùng 8 được ko

lúc nãy mình nhầm nhưng minh nghĩ ko dùng 8 được do $\left ( a-c \right )\left ( a+c \right )$ vẫn chia hết cho 8 được

[ILoveMathverymuch]

lúc nãy mình nhầm nhưng minh nghĩ ko dùng 8 được do $\left ( a-c \right )\left ( a+c \right )$ vẫn chia hết cho 8 được

.mình cho a,c = 4k,4k +2Trả lời

thì (a-c)(a+c)= 16k +4 sao lại chia hết cho 8

• Báo cáo
   
•  

[ILoveMathverymuch]

lúc nãy mình nhầm nhưng minh nghĩ ko dùng 8 được do $\left ( a-c \right )\left ( a+c \right )$ vẫn chia hết cho 8 được

nếu cho a=4k+2 ,c=4k

thì (a-c)(a+c)=16k+4 đâu chia hết cho 8

[canhhoang30011999]

 

.mình cho a,c = 4k,4k +2Trả lời

thì (a-c)(a+c)= 16k +4 sao lại chia hết cho 8

• Báo cáo
   
•  

 

bạn ơi sao a,c lại biểu diễn ở cùng ẩn k được à bạn đưng gửi thư nữa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi canhhoang30011999: 25-08-2013 - 16:27

[ILoveMathverymuch]

bạn ơi sao a,c lại biểu diễn ở cùng ẩn k được à bạn đưng gửi thư nữa

mình yếu số học lắm.nhưng sao lại ko được

[canhhoang30011999]

mình yếu số học lắm.nhưng sao lại ko được

NẾU BẠN ĐĂT VẬY BẠN NGỘ NHẬN A-C=2

[ILoveMathverymuch]

NẾU BẠN ĐĂT VẬY BẠN NGỘ NHẬN A-C=2

thanks

[barcavodich]

CMR không thể biểu diễn số nguyên tố nào thành tổng bình phương của 2 số tự nhiên theo 2 cách.

Giả sử phản chứng rằng $\exists a,b,c,d$ thỏa mãn $(a,b)\neq (c,d),\gcd (a,b)=\gcd (c,d)=1$ 

Sao cho $p=a^2+b^2=c^2+d^2$

Do $p|p(d^2-b^2)$

$\Rightarrow p|pd^2-pb^2\Rightarrow p|(a^2+b^2)d^2-(c^2+d^2)b^2$

$\Rightarrow p|(ad)^2-(bc)^2$

Do $p$ nguyên tố 

KMTTQ giả sử rằng $p|ad+bc$

Ta có $p^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ad+bc)^2+(ac-bd)^2$

$\Rightarrow ad-bc=0$

Mà $\gcd (a,b)=\gcd (c,d)=1$ 

Nên $a=d$,$b=c$

Hay cách biểu diễn trên là duy nhất

QED

[Tran Nguyen Lan 1107]

haizzz!!! $a,c\equiv 0(mod4)$

Ta chỉ có a$^{2}$$\equiv$0(mod 4) thì làm sao suy ra a$\equiv$0(mod 4)

Nếu a chẵn thì vẫn đúng chứ sao?

[ILoveMathverymuch]

Ta chỉ có a$^{2}$$\equiv$0(mod 4) thì làm sao suy ra a$\equiv$0(mod 4)

Nếu a chẵn thì vẫn đúng chứ sao?

ý mình cũng giống bạn

[Trang Luong]

Mình thấy $1+n^{2}$ vẫn có thể là số nguyên tố vs n chẵn mà   

[Tran Nguyen Lan 1107]

Giả sử phản chứng rằng $\exists a,b,c,d$ thỏa mãn $(a,b)\neq (c,d),\gcd (a,b)=\gcd (c,d)=1$ 

Sao cho $p=a^2+b^2=c^2+d^2$

Do $p|p(d^2-b^2)$

$\Rightarrow p|pd^2-pb^2\Rightarrow p|(a^2+b^2)d^2-(c^2+d^2)b^2$

$\Rightarrow p|(ad)^2-(bc)^2$

Do $p$ nguyên tố 

KMTTQ giả sử rằng $p|ad+bc$

Ta có $p^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ad+bc)^2+(ac-bd)^2$

$\Rightarrow ad-bc=0$

Mà $\gcd (a,b)=\gcd (c,d)=1$ 

Nên $a=d$,$b=c$

Hay cách biểu diễn trên là duy nhất

QED

Vì sao ad-bc=0?