Chủ đề này có 7 trả lời

[caybutbixanh]

Cho x,y,z không âm và không lớn hơn   2 thỏa mãn $x+y+z=3 .$

Tìm min, max của $P= x^{2}+y^{2}+z^{2}$

----------------------

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caybutbixanh: 23-08-2013 - 21:21

[canhhoang30011999]

Cho x,y,z không âm và không lớn hơn bằng  2 thỏa mãn $x+y+z=3 .$

Tìm min, max của $P= x^{2}+y^{2}+z^{2}$

----------------------

bạn viết rõ đề cái

[datcoi961999]

áp dụng bdt B.C.S dạng phân thức ta có

$P\geq\frac{(x+y+z)^2}{3}=3$

dấu bằng <=>x=y=z=1

 

áp dụng bdt B.C.S dạng phân thức ta có

$P\geq\frac{(x+y+z)^2}{3}=3$

dấu bằng <=>x=y=z=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi datcoi961999: 23-08-2013 - 21:19

[caybutbixanh]

bạn viết rõ đề cái

Ủa , đề rõ ràng mà.....

 

 

áp dụng bdt B.C.S dạng phân thức ta có

$P\geq\frac{(x+y+z)^2}{3}=3$

dấu bằng <=>x=y=z=1

 

Thế còn Max thì sao bạn....

[letankhang]

Cho x,y,z không âm và không lớn hơn   2 thỏa mãn $x+y+z=3 .$

Tìm min, max của $P= x^{2}+y^{2}+z^{2}$

----------------------

 

Ủa , đề rõ ràng mà.....

 

Thế còn Max thì sao bạn....

$gt\Rightarrow x\geq 0;x-2\leq 0\Rightarrow x(x-2)\leq 0\Rightarrow x^{2}\leq 2x$

Tương tự

Suy ra :

$x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 2(x+y+z)=6$

Vậy :

$MaxP=6$

 

 

 

P/s : mình làm sai rồi có gì nhờ mấy mod xóa dùm T.T

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 23-08-2013 - 21:38

[datcoi961999]

mặt khác

đặt

$x=a+1,y=b+1,z=c+1$ thì $-1\leq a,b,c\leq 1,a+b+c=0$

$$=>(1-a)(1-b)(1-c)+(a+1)(b+1)(c+1)\geq0$$

$$<=>2+2(ab+bc+ca)\geq0$$

$$<=>2+(a+b+c)^2-a^2-b^2-c^2\geq0$$

$$<=>a^2+b^2+c^2\leq2$$

đến đây dễ dàng suy ra $$x^2+y^2+z^2\leq5$$

[datcoi961999]

mặt khác

đặt

$x=a+1,y=b+1,z=c+1$ thì $-1\leq a,b,c\leq 1,a+b+c=0$

$$=>(1-a)(1-b)(1-c)+(a+1)(b+1)(c+1)\geq0$$

$$<=>2+2(ab+bc+ca)\geq0$$

$$<=>2+(a+b+c)^2-a^2-b^2-c^2\geq0$$

$$<=>a^2+b^2+c^2\leq2$$

đến đây dễ dàng suy ra $$x^2+y^2+z^2\leq5$$

bổ sung dấu = xảy ra khi x=2,y=1,z=0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi datcoi961999: 23-08-2013 - 21:34

[caybutbixanh]

mặt khác

đặt

$x=a+1,y=b+1,z=c+1$ thì $-1\leq a,b,c\leq 1,a+b+c=0$

$$=>(1-a)(1-b)(1-c)+(a+1)(b+1)(c+1)\geq0$$

$$<=>2+2(ab+bc+ca)\geq0$$

$$<=>2+(a+b+c)^2-a^2-b^2-c^2\geq0$$

$$<=>a^2+b^2+c^2\leq2$$

đến đây dễ dàng suy ra $$x^2+y^2+z^2\leq5$$

Lời giải của bạn khá hay tuy nhưng mình vẫn chưa hiểu rõ ý ở chỗ vì sao bạn lại đặt $x=a+1$ .Bạn giải thích hộ mình nhé.

Cho x,y,z không âm và không lớn hơn   2 thỏa mãn $x+y+z=3 .$

Tìm min, max của $P= x^{2}+y^{2}+z^{2}$

----------------------

Đây là lời giải của mình.

$\oplus $Trước hết ta tìm Min. Áp dụng BĐT quen thuộc $(a+b+c)^{2} \leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$ , ta có :

$3P \geq (x+y+z)^{2}=9 $ suy ra $P \geq 3$

vậy min P= 3 khi $x=y=z=1$

$\oplus$ Đến Max. Vì vai trò của $x,y,z$ là bình đẳng nên ta có thể giả sử $0\leq x\leq y\leq z\leq 2$ suy ra $1\leq z \leq 2$

Khi đó :$P= (x+y)^{2}+z^{2}-2xy \leq (x+y)^{2}+z^{2} ( vì 2xy \geq 0)$ Suy ra $P \leq(3-z)^{2}+z^{2}=2(z^{2}-3z+2)+5=2(z-1)(z-2)+5 \leq 5$

Max P=5 khi $z=2,y=1,x=0.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caybutbixanh: 23-08-2013 - 22:17