Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{a^{2}}{6a^{2}-4a+1}+\frac{b^{2}}{6b^{2}-4b +1}+\frac{c^{2}}{6c^{2}-4c+1}\leq1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
tim1nuathatlac

tim1nuathatlac

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 298 Bài viết

Bài toán 1: Cho $a,b,c$ là các số thự thoả mãn $a+b+c=1$. CMR

 

$\frac{a^{2}}{6a^{2}-4a+1}+\frac{b^{2}}{6b^{2}-4b +1}+\frac{c^{2}}{6c^{2}-4c+1}\leq1$

 

Bài toán 2: Cho $a,b,c$ là các số thực dương có tổng =3. CMR

 

$\left ( a^{2}+a+1 \right )\left ( b^{2}+b+1 \right )\left ( c^{2}+c+1 \right )\leq 27$




#2
A1Nguyen

A1Nguyen

    Lính mới

  • Thành viên
  • 7 Bài viết

Bài 1.

Trong 3 số $a-\dfrac{1}{3} ; b-\dfrac{1}{3}; c-\dfrac{1}{3}$ có 2 số hoặc cùng dấu hoặc cùng bằng 0.

Gọi 2 số đó là $b-\dfrac{1}{3}; c-\dfrac{1}{3}$.

=> $(b-\dfrac{1}{3}). (c-\dfrac{1}{3}) \ge 0$

Ta có 

$b^2+ c^2 \leq \dfrac{1}{9}+(b+c-\dfrac{1}{3})^2= \dfrac{1}{9}+ (\dfrac{2}{3}-a)^2$.

BĐT cần CM

<=> $(\dfrac{1}{2}-\dfrac{b^2}{6b^2-4b+1}) +(\dfrac{1}{2}-\dfrac{c^2}{6c^2-4c+1}) \ge \dfrac{a^2}{6a^2-4a+1}$

<=> $\dfrac{(2b-1)^2}{6b^2-4b+1}+ \dfrac{(2c-1)^2}{6c^2-4c+1} \ge \dfrac{2a^2}{6a^2-4a+1}$

 

Theo BĐT Cauchy Schwarz

$ VT \ge \dfrac{[(2b-1)+(2c-1)]^2}{6b^2+6c^2-4b-4c+2} = \dfrac{2a^2}{3(b^2+c^2)+2a-1} \ge \dfrac{2a^2}{3.[\dfrac{1}{9}+(\dfrac{2}{3}-a)^2]+2a-1} = \dfrac{6a^2}{9a^2-6a+2}$

 

Do đó, ta cần CM nốt
$ \dfrac{6a^2}{9a^2-6a+2} \ge \dfrac{2a^2}{6a^2-4a+1}$
<=> $\dfrac{2a^2(3a-1)^2}{(9a^2-6a+2)(6a^2-4a+1)} \ge 0$ (Đúng)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1/3 hoặc a=b=1/2; c=0 và các hoán vị.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi A1Nguyen: 25-08-2013 - 10:25





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh