Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:
$$\sqrt{\dfrac{a^2+1}{2}}+\sqrt{\dfrac{b^2+1}{2}}+\sqrt{\dfrac{c^2+1}{2}}\le a+b+c$$
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:
$$\sqrt{\dfrac{a^2+1}{2}}+\sqrt{\dfrac{b^2+1}{2}}+\sqrt{\dfrac{c^2+1}{2}}\le a+b+c$$
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:
$$\sqrt{\dfrac{a^2+1}{2}}+\sqrt{\dfrac{b^2+1}{2}}+\sqrt{\dfrac{c^2+1}{2}}\le a+b+c$$
$\sqrt{\frac{a^{2}+1}{2}}=\frac{\sqrt{a^{2}+abc}}{2}=\frac{\sqrt{a(a+bc)}}{2}\leq \frac{1}{4}(2a+b+c)$
Tương tự ta có $\sqrt{\frac{b^{2}+1}{2}}\leq \frac{1}{4}(2b+a+c)$ và $\sqrt{\frac{c^{2}+1}{2}}\leq \frac{1}{4}(2c+a+b)$
Cộng vế => $VT\leq a+b+c$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$
Phóng khoáng tự do
.
.
.
.
.
.
_Ta bay theo ngàn cơn gió ~~~~~~~
$\sqrt{\frac{a^{2}+1}{2}}=\frac{\sqrt{a^{2}+abc}}{2}=\frac{\sqrt{a(a+bc)}}{2}\leq \frac{1}{4}(2a+b+c)$
Tương tự ta có $\sqrt{\frac{b^{2}+1}{2}}\leq \frac{1}{4}(2b+a+c)$ và $\sqrt{\frac{c^{2}+1}{2}}\leq \frac{1}{4}(2c+a+b)$
Cộng vế => $VT\leq a+b+c$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$
mình chưa rõ lắm
tàn lụi
mình chưa rõ lắm
Bạn chưa rõ là phải thôi, bởi vì nó sai rồi~~~ Thành thật xin lỗi, có lẽ đây là kết quả của quá trình làm cú đêm suốt tuần qua :>>
Đúng ra là phải thế này:
Ta chứng minh bất đẳng thức phụ: $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq \sqrt{3(a+b+c)} (*)$
Ta dễ dàng chứng minh được bđt này bằng phương pháp biến đổi tương đương:
$(*)\Leftrightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}\leq 3(a+b+c) \Leftrightarrow 2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})\leq 2(a+b+c)\Leftrightarrow 0\leq (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}+(\sqrt{b}-\sqrt{c})^{2}+(\sqrt{c}-\sqrt{a})^{2}$
Khi đó ta có $VT\leq \sqrt{\frac{3}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+3)}$
Ta thấy $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}=3$
$\Rightarrow VT\leq \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\leq \sqrt{(a+b+c)^{2}}=a+b+c$(đ.p.c.m)
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$
_________
Cực kì chi tiết luôn nhá :>>
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lanhmacluongbac: 30-08-2013 - 21:02
Phóng khoáng tự do
.
.
.
.
.
.
_Ta bay theo ngàn cơn gió ~~~~~~~
Bạn chưa rõ là phải thôi, bởi vì nó sai rồi~~~ Thành thật xin lỗi, có lẽ đây là kết quả của quá trình làm cú đêm suốt tuần qua :>>
Đúng ra là phải thế này:
Ta chứng minh bất đẳng thức phụ: $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq \sqrt{3(a+b+c)} (*)$
Ta dễ dàng chứng minh được bđt này bằng phương pháp biến đổi tương đương:
$(*)\Leftrightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}\leq 3(a+b+c) \Leftrightarrow 2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})\leq 2(a+b+c)\Leftrightarrow 0\leq (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}+(\sqrt{b}-\sqrt{c})^{2}+(\sqrt{c}-\sqrt{a})^{2}$
Khi đó ta có $VT\leq \sqrt{\frac{3}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+3)}$
Ta thấy $ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}=3$
Nên $VT\leq\sqrt{\frac{3}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca)}=\sqrt{\frac{3}{2}(a+b+c)^{2}-\frac{3}{2}(ab+bc+ca)}$
Lại có $ab+bc+ca\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}\Leftrightarrow 3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^{2}$
$\Rightarrow VT\leq \sqrt{\frac{3}{2}(a+b+c)^{2}-\frac{1}{2}(a+b+c)^{2}}=a+b+c$(đ.p.c.m)
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$
_________
Cực kì chi tiết luôn nhá :>>
Mình rất tiếc
$-\frac{1}{2}(a+b+c)^2\leq -\frac{3}{2}(ab+bc+ca)$ bạn nhá, nên ...
__
Thức khuya hại lắm đó bạn
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lugiahooh: 28-08-2013 - 19:40
Gió
Mình rất tiếc
$-\frac{1}{2}(a+b+c)^2\leq -\frac{3}{2}(ab+bc+ca)$ bạn nhá, nên ...
__
Thức khuya hại lắm đó bạn
Ê ế ề ~~~ Cảm ơn bạn, mềnh lại hâm nữa rồi ~~~ Dạo này loạn với môn Hóa quá (
Phóng khoáng tự do
.
.
.
.
.
.
_Ta bay theo ngàn cơn gió ~~~~~~~
Mình rất tiếc
$-\frac{1}{2}(a+b+c)^2\leq -\frac{3}{2}(ab+bc+ca)$ bạn nhá, nên ...
__
Thức khuya hại lắm đó bạn
Bạn có ý nào cho bài này không?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lanhmacluongbac: 30-08-2013 - 21:07
Phóng khoáng tự do
.
.
.
.
.
.
_Ta bay theo ngàn cơn gió ~~~~~~~
Bạn có ý nào cho bài này không?
Hehe, đợi chứng minh của bạn mà lâu quá Uhm, thực ra thì cũng có:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$\frac{1}{2}\sum a^2+\sum \sqrt{(a^2+1)(b^2+1)}+\frac{3}{2}\leqslant \sum a^2+2\sum ab$
$\Leftrightarrow \sum a^2+2\sum \sqrt{(a^2+1)(b^2+1)}+3\leqslant 2\sum a^2+4\sum ab$
$\Leftrightarrow \sum (a^2+1)+2\sum \sqrt{(a^2+1)(b^2+1)}\leqslant 2\sum a^2+4\sum ab$
$\Leftrightarrow (\sum \sqrt{a^2+1})^2\leqslant 2(a+b+c)^2$
$\Leftrightarrow \sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}\leqslant \sqrt{2}(a+b+c)$
Đến đây ta chứng minh $\sqrt{x^2+1}-\sqrt{2}x\leqslant \frac{lnx}{\sqrt{2}}$
__
Thực ra bất đẳng thức sau dấu tương đương cuối mình nhớ là đã gặp một lần nào đó rồi, nên mới cố đưa về nó.
Nhưng nghĩ lại, thì chứng minh BĐT này được bằng BĐT (theo x) như trên thì chắc cũng tìm được một BĐT theo x tương tự để chứng minh trực tiếp cho BĐT đầu bài. Nhác quá, nên mình chưa thử
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lugiahooh: 30-08-2013 - 21:43
Gió
Hehe, đợi chứng minh của bạn mà lâu quá Uhm, thực ra thì cũng có:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$\frac{1}{2}\sum a^2+\sum \sqrt{(a^2+1)(b^2+1)}+\frac{3}{2}\leqslant \sum a^2+2\sum ab$
$\Leftrightarrow \sum a^2+2\sum \sqrt{(a^2+1)(b^2+1)}+3\leqslant 2\sum a^2+4\sum ab$
$\Leftrightarrow \sum (a^2+1)+2\sum \sqrt{(a^2+1)(b^2+1)}\leqslant 2\sum a^2+4\sum ab$
$\Leftrightarrow (\sum \sqrt{a^2+1})^2\leqslant 2(a+b+c)^2$
$\Leftrightarrow \sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}\leqslant \sqrt{2}(a+b+c)$
Đến đây ta chứng minh $\sqrt{x^2+1}-\sqrt{2}x\leqslant \frac{lnx}{\sqrt{2}}$
__
Thực ra bất đẳng thức sau dấu tương đương cuối mình nhớ là đã gặp một lần nào đó rồi, nên mới cố đưa về nó.
Nhưng nghĩ lại, thì chứng minh BĐT này được bằng BĐT (theo x) như trên thì chắc cũng tìm được một BĐT theo x tương tự để chứng minh trực tiếp cho BĐT đầu bài. Nhác quá, nên mình chưa thử
Thật là ngại quá, nhưng mình chưa học được như bạn thì phải. Cái $lnx$ nó là cái gì thế?
Phóng khoáng tự do
.
.
.
.
.
.
_Ta bay theo ngàn cơn gió ~~~~~~~
Cái $lnx$ nó là cái gì thế?
Logarit cơ số e của x bạn à. Cái này được viết trong sách giáo khoa Đại số giải tích 12, chắc bạn chưa được học đến rồi.
Gió
Còn cách nào với kiến thức cơ bản hơn không ?Logarit cơ số e của x bạn à. Cái này được viết trong sách giáo khoa Đại số giải tích 12, chắc bạn chưa được học đến rồi.
Phóng khoáng tự do
.
.
.
.
.
.
_Ta bay theo ngàn cơn gió ~~~~~~~
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh