Chứng minh rằng mỗi số nguyên không âm đều có thể được biểu diễn dưới dạng $a^{2}+b^{2}-c^{2}$,với $a,b,c$ là các số nguyên dương a<b<c
Chứng minh rằng mỗi số nguyên không âm đều có thể được biểu diễn dưới dạng $a^{2}+b^{2}-c^{2}$,với $a,b,c$ là các số nguyên dương a<b<c
#1
Đã gửi 24-08-2013 - 11:33
#2
Đã gửi 13-09-2013 - 21:16
Chứng minh rằng mỗi số nguyên không âm đều có thể được biểu diễn dưới dạng $a^{2}+b^{2}-c^{2}$,với $a,b,c$ là các số nguyên dương a<b<c
$2n= (3n)^2+(4n-1)^2-(5n-1)^2$
$2n+3= (3n+2)^2+(4n)^2-(5n+1)^2$
- Zaraki, Strygwyr, nhatduy01 và 2 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 13-09-2013 - 23:46
Một bài toán tương tự kiểu như này được phát biểu như sau:
CMR mọi số nguyên $n$ đều có thể biểu diễn được dưới dạng $n=\pm 1^2\pm2^2\pm3^2\pm...\pm k^2$ (với $k$ thích hợp)
Solution:
Rõ ràng ta chỉ cần xét $n$ không âm,nếu $n$ âm ta chỉ cần đổi dấu tất cả các số hạng
Xét các trường hợp $n=0,1,2,3$ ta có
$n=0=1^2+2^2-3^2+4^2-5^2-6^2+7^2$
$n+1=1^2$
$n=2=-1^2-2^2-3^2+4^2$
$n=3=-1^2+2^2-3^2-4^2+5^2$
Ta để ý rằng $4=(k+1)^2-(k+2)^2-(k+3)^2+(k+4)^2
Do đó theo quy nạp thì nếu $n+1,n+2,n+3$ biểu diễn được thì $n+4$ cũng biểu diễn được
QED.
- Zaraki, mat troi be nho, amma96 và 1 người khác yêu thích
[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh