Bài 1.
Giải
Đặt $a = \sqrt[3]{x^{2}+ 4x + 3}; b = \sqrt[3]{4x^{2}-9x-3}$
$c = \sqrt[3]{3x^{2}-2x+2}; d = \sqrt[3]{2x^{2}-3x-2}$
Khi đó, ta có hệ:
$\left\{\begin{matrix}a + b = c + d\\a^3 + b^3 = c^3 + d^3\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a + b = c + d\\(a + b)^3 - 3ab(a + b) = (c + d)^3 - 3cd(c + d) \end{matrix}\right. (\star)$
Nếu $a + b = c + d = 0$ thì dễ dàng tìm được hai nghiệm của phương trình là x = 1 và x = 0
Nếu $a + b = c + d \neq 0$ thì hệ $(\star)$ tương đương:
$\left\{\begin{matrix}a + b = c + d\\ab = cd\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}a = c \\b = d\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}a = d\\b = c\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{x^{2}+ 4x + 3} = \sqrt[3]{3x^{2}-2x+2} \\\sqrt[3]{4x^{2}-9x-3} = \sqrt[3]{2x^{2}-3x-2}\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}\sqrt[3]{x^{2}+ 4x + 3} = \sqrt[3]{2x^{2}-3x-2}\\\sqrt[3]{3x^{2}-2x+2} = \sqrt[3]{4x^{2}-9x-3}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}2x^2 - 6x - 1 = 0\\x^2 - 7x - 5 = 0\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x = \dfrac{3 \pm \sqrt{11}}{2}\\x = \dfrac{7 \pm \sqrt{69}}{2}\end{matrix}\right.$