Chủ đề này có 1 trả lời

[ironman]

Cho hình chóp SABCD, đáy là hình thoi cạnh bằng 2a. SA=SB=SC=2a. Gọi V là thể tích khối chóp. Chứng mình rằng V<=2a^3

[duongtoi]

Cho hình chóp SABCD, đáy là hình thoi cạnh bằng 2a. SA=SB=SC=2a. Gọi V là thể tích khối chóp. Chứng mình rằng V<=2a^3

Hình chóp có $SA=SB=SC$ nên $SO$ là đường cao với $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Gọi $I$ là giao của hai đường chéo.

Đặt $IA=x;IB=y$.

Ta có $x^2+y^2=4a^2$.

Diện tích hình thoi là $S=2xy$.

Gọi $M$ là trung điểm $AB$.

Ta có tam giác $SAB$ đều nên $SM\perp AB$.

Suy ra, $OM\perp AB$.

Do đó, $\Delta BMO\sim \Delta BIA$

Suy ra, $\frac{OB}{AB}=\frac{BM}{BI}\Leftrightarrow OB=\frac{AB.MB}{IB}=\frac{2a^2}{y}$

 

Ta có $SO=\sqrt{SB^2-OB^2}=\sqrt{4a^2-\frac{4a^4}{y^2}}=\frac{2a}{y}\sqrt{y^2-a^2}$

Vậy $V=\frac{1}{3}SO.S=\frac{1}{3}.\frac{2a}{y}.2xy.\sqrt{y^2-a^2}$

$=\frac{4a}{3}x.\sqrt{y^2-a^2}\le \frac{4a}{3}.\frac{1}{2}(x^2+y^2-a^2)=2a^3$.

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $x^2=y^2-a^2\Leftrightarrow y=a\frac{\sqrt{10}}{2};x=a\frac{\sqrt{6}}{2}$