Chủ đề này có 3 trả lời

[Vu Thuy Linh]

Cho x, y, z > 0; xyz = 1.

Tìm Min A = $\frac{\sqrt{1+x^{3}+y^{3}}}{xy}+\frac{\sqrt{1+y^{3}+z^{3}}}{yz}+\frac{\sqrt{1+z^{3}+x^{3}}}{xz}$

[duongtoi]

Cho x, y, z > 0; xyz = 1.

Tìm Min A = $\frac{\sqrt{1+x^{3}+y^{3}}}{xy}+\frac{\sqrt{1+y^{3}+z^{3}}}{yz}+\frac{\sqrt{1+z^{3}+x^{3}}}{xz}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số ta được $1+x^3+y^3\ge3\sqrt[3]{x^3y^3}=3xy$.

Tương tự ta có $1+y^3+z^3\ge3\sqrt[3]{y^3z^3}=3yz$.

$1+z^3+x^3\ge3\sqrt[3]{z^3x^3}=3zx$.

Do vậy $A\ge\frac{\sqrt{3xy}}{xy}+\frac{\sqrt{3yz}}{yz}+\frac{\sqrt{3zx}}{zx}$

$A\ge\sqrt3\left ( \frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}} \right )=\sqrt3(\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z)$

(Do $xyz=1$).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy lần nữa ta được $\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z\ge3\sqrt[6]{xyz}=3$.

Vậy $A\ge 3\sqrt3$.

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$.

[Trang Luong]

Cho x, y, z > 0; xyz = 1.

Tìm Min A = $\frac{\sqrt{1+x^{3}+y^{3}}}{xy}+\frac{\sqrt{1+y^{3}+z^{3}}}{yz}+\frac{\sqrt{1+z^{3}+x^{3}}}{xz}$

Ta có : $1+x^{3}+y^{3}\geq 1+\left ( x+y \right )xy=xy\left ( z+x+y \right )\Rightarrow \frac{\sqrt{1+x^{3}+y^{3}}}{xy}\geq \frac{\sqrt{x+y+z}}{\sqrt{xy}}=\sqrt{x+y+z}.\sqrt{z}$

$\Rightarrow A\geq \sqrt{x+y+z}.\left ( \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \right )\geq 3\sqrt{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khonggiadinh: 25-08-2013 - 14:28

[võ triết huỳnh linh]

Xin cho hỏi thêm.Cũng cùng giả thuyết như trên và cũng yêu cầu tìm Min nhưng đề thì như thế này?

http://s1123.photobu...huyen.jpeg.html