Đạo hàm cho ta biết tốc độ thay đổi của một đại lượng so với đại lượng khác ở vài vị trí hay điểm riêng biệt (nên ta gọi là "tốc độ thay đổi tức thời"). Khái niệm này có nhiều ứng dụng trong điện từ học, động lực học, kinh tế học, tràn chất lỏng, kiểu mẫu dân số, lý thuyết sắp hàng và còn nhiều nữa.
Bất cứ khi nào một số lượng luôn thay đổi giá trị, ta đều có thể dùng vi tích phân (vi phân và tích phân) để mô tả trạng thái của nó.
Trong bài này, ta sẽ bàn luận về những sự việc xảy ra trong những khoảng thời gian rất nhỏ, nên ta sẽ dùng $\Delta t$ thay vì $\Delta x$ như ta thấy ở bài Đạo hàm từ gốc .
Chú ý: Bài viết này là một phần của bài viết Tổng quan về ngành vi tích phân . Ta sẽ nghiên cứu vài quy luật dễ hơn nhiều trong cách tính vi phân trong bài viết tiếp theo Đạo hàm đa thức.
I.Vận tốc:
Như ta đã biết, vận tốc chính là thương số giữa quãng đường và thời gian vật đi hết quãng đường đó, nhưng điều này chỉ đúng khi vận tốc là hằng số cố định (hay vật chuyển động đều). Ta cần một công thức khác khi vận tốc thay đổi theo thời gian.
Nếu ta có biểu thức cho $s$ (quãng đường) theo $t$ (thời gian) thì vận tốc ở bất kỳ thời điểm nhỏ $t$ nào được tính bởi:
$$v=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}$$
Để làm đại số trở nên đơn giản hơn, ta dùng $h$ thay cho $\Delta t$ và viết:
$$v=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}$$
Ví dụ: Một vật thể rơi từ cái giá đỡ được quãng đường $s$ theo $cm$ được cho bởi $s=490t^{2},t$ tính theo giây $(s)$, hỏi vận tốc vật thể khi $t=10(s)?$
Trả lời
Đạo hàm cho ta biết:
- Tốc độ thay đổi của một đại lượng so với đại lượng khác.
- Độ dốc tiếp tuyến của đường cong ở bất kỳ điểm nào.
- Vận tốc khi ta biết biểu thức $s$ quãng đường là $v=\frac{ds}{dt}$
- Gia tốc khi ta biết biểu thức $v$ vận tốc là $a=\frac{dv}{dt}$
II. Câu hỏi độc giả:
Một người đọc thường hay hỏi:
" Ý nghĩa của $\frac{dy}{dt}$ là gì ?"
Đây là câu trả lời của tôi:
Một cách đơn giản, $\frac{dy}{dt}$ nghĩa là "sự thay đổi của $y$ so với sự thay đổi của $t$ ở giá trị chính xác của $t$"
Nó được dùng khi đại lượng $y$ phụ thuộc vào một hằng số thay đổi, hãy lấy nhiệt độ môi trường làm ví dụ. Giả sử bạn đang ở Melbourne, Úc (nơi có nhiệt độ chênh lệch khắc nghiệt), và ta muốn biết bây giờ nhiệt độ gia tăng nhanh đến mức nào.
Ở mùa đông, về đêm, nhiệt độ thông thường là $2^{o}C$, ở mùa hè ($6$ tháng sau) về đêm, nó có thể $26^{o}C$. Tốc độ thay đổi trung bình là:
$\frac{26-2}{6}=\frac{24}{6}=4^{o}C/$ tháng
Đây là giá trị trung bình xa, không phải $\frac{dy}{dt}$
Nhưng bây giờ hãy nghĩ về một ngày trong hè. Lúc $6:00$ sáng nhiệt độ có thể là $13^{o}C$, và $1:00$ chiều lên đến $27^{o}C$, giá trị thay đổi trung bình là:
$$\frac{27-13}{7}=2^{o}C/h$$
Ta vẫn không có $\frac{dy}{dt}$
Bây giờ hãy giả sử lúc $9:00$ sáng là $20^{o}C$ và lúc $10:00$ sáng là $22,4^{o}C$ nên giá trị thay đổi trung bình là:
$\frac{22,4-20}{60}=0,04^{o}/$ phút (tương đương $2,4^{o}C/h$)
Ta có thể tiến đến những khoảng thời gian nhỏ hơn (như $s,ms,ns$ và hơn nữa) để dự đoán sự thay đổi nhiệt độ lúc $10:00$ sáng. Sự dự đoán này được biểu diễn bởi khái niệm $\frac{dy}{dt}$
Nói một cách lịch sử, những gì tôi mô tả trong Độ dốc của tiếp tuyến với đường cong (số gần đúng) chính là những điều họ đã làm trước khi Newton và Leibniz cho ta phép tính vi phân. Trong bài Đạo hàm từ gốc ta thấy cách tiếp cận đại số mà Newton và Leibniz đã phát triển. Bây giờ ta có thể tìm giá trị dự đoán của $\frac{dy}{dt}$ bằng các quy trình toán học dựa trên hàm số mà không cần phải thay số trong mọi vị trí.
Ở bài viết tiếp theo ta sẽ thấy nhiều quy luật dễ hơn cho vi phân. Ta sẽ ít dùng "vi phân từ gốc" nhưng sẽ rất là tốt để nắm rõ vi phân xuất phát từ đâu và nó giúp ích gì cho ta.
Xem thêm: Tổng quan về ngành vi tích phân
Bài trước: Đạo hàm từ gốc
Bài tiếp: Đạo hàm đa thức
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 27-08-2013 - 20:10
