Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $A=1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+100^{3}$ chia hết cho B=1+2+...+100

- - - - -
Bắt đầu bởi kinggriffin1, 25-08-2013 - 21:16

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
kinggriffin1
Đã gửi 25-08-2013 - 21:16

kinggriffin1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 52 Bài viết

CMR

$A=1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+100^{3}$ chia hết cho B= 1+2+3+...+100

 

$A=1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+99^{3}$ chia hết cho B= 1+2+3+...+99

 

 

 


#2
letankhang
Đã gửi 25-08-2013 - 21:32

letankhang

    $\sqrt{MF}'s$ $member$

  • Thành viên
  • 1079 Bài viết

CMR

$A=1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+100^{3}$ chia hết cho B= 1+2+3+...+100

 

 

Ta có :

$B=101.50$

$gt\Rightarrow A=(100^{3}+1^{3})+(99^{3}+2^{3})+...+(50^{3}+51^{3})\Rightarrow A\vdots 101$

$gt\Rightarrow A=(99^{3}+1^{3})+(98^{3}+2^{3})+...+(49^{3}+51^{3})+50^{3}+100^{3}\Rightarrow A\vdots 50$

Mà : $(101;50)=1$

$\Rightarrow A\vdots 50.101\Rightarrow A\vdots B$

Bài còn lại bạn làm tương tự :)


        :oto:   :nav:  :wub:  $\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $  :wub:   :nav:  :oto:            

  $\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$

 

 

#3
nguyentrungphuc26041999
Đã gửi 25-08-2013 - 21:49

nguyentrungphuc26041999

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 406 Bài viết

CMR

$A=1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+100^{3}$ chia hết cho B= 1+2+3+...+100

 

$A=1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+99^{3}$ chia hết cho B= 1+2+3+...+99

tổng quát luôn 

$1^{3}+2^{3}+...+n^{3}\vdots 1+2+3+...+n$ ok

ta có $1^{3}-1+2^{3}-2+...+n^{3}-n= 0+1.2.3+2.3.4+...+\left ( n-1 \right )n\left ( n+1 \right )$

ta sẽ chứng minh hằng đẳng thức $1.2.3+2.3.4+...+n\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )= \frac{\left ( n^{2}+3n+1 \right )^{2}-1}{4}$

thật vậy 

$k\left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right )= \frac{1}{4}k\left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right )\left ( k+3 \right )-\frac{1}{4}\left ( k-1 \right )k\left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right )$

thay vào ta có đpcm

$\Rightarrow 1.2.3+2.3.4+...+n\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )-1-2-3-...-n=\frac{\left ( n^{2}+3n+1 \right )^{2}-1}{4}-n\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )$

mà $1+2+3+...+n= \frac{n\left ( n+1 \right )}{2}$

$1.2.3+2.3.4+...+n\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )= \frac{\left ( n^{2}+3n+1 \right )-1}{4}+\frac{n\left ( n+1 \right )}{2}-n\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )$

$= \frac{n^{2}\left ( n+1 \right )^{2}}{4}$

mà$1+2+3+...+n= \frac{n\left ( n+1 \right )}{2}$

khi đó$\frac{1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}}{1+2+3+...+n}= \frac{n\left ( n+1 \right )}{2}\in N$do $n$ hoặc $n+1$ là số chẵn 

xong


#4
LNH
Đã gửi 25-08-2013 - 21:52

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết

CMR

$A=1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+100^{3}$ chia hết cho B= 1+2+3+...+100

 

$A=1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+99^{3}$ chia hết cho B= 1+2+3+...+99

 

 

tổng quát luôn 

$1^{3}+2^{3}+...+n^{3}\vdots 1+2+3+...+n$ ok

ta có $1^{3}-1+2^{3}-2+...+n^{3}-n= 0+1.2.3+2.3.4+...+\left ( n-1 \right )n\left ( n+1 \right )$

ta sẽ chứng minh hằng đẳng thức $1.2.3+2.3.4+...+n\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )= \frac{\left ( n^{2}+3n+1 \right )^{2}-1}{4}$

thật vậy 

$k\left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right )= \frac{1}{4}k\left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right )\left ( k+3 \right )-\frac{1}{4}\left ( k-1 \right )k\left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right )$

thay vào ta có đpcm

$\Rightarrow 1.2.3+2.3.4+...+n\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )-1-2-3-...-n=\frac{\left ( n^{2}+3n+1 \right )^{2}-1}{4}-n\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )$

mà $1+2+3+...+n= \frac{n\left ( n+1 \right )}{2}$

$1.2.3+2.3.4+...+n\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )= \frac{\left ( n^{2}+3n+1 \right )-1}{4}+\frac{n\left ( n+1 \right )}{2}-n\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )$

$= \frac{n^{2}\left ( n+1 \right )^{2}}{4}$

mà$1+2+3+...+n= \frac{n\left ( n+1 \right )}{2}$

khi đó$\frac{1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}}{1+2+3+...+n}= \frac{n\left ( n+1 \right )}{2}\in N$do $n$ hoặc $n+1$ là số chẵn 

xong

Tổng quát max level

 

Cho n và k là các số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu k là số lẻ thì $(1^{k} + 2^{k} + ... + n^{k})$ chia hết cho (1 + 2 + ... + n )

 

 

Lời giải. Bài toán được đưa về chứng minh $1^k+2^k+ \cdots +n^k$ chia hết cho $n(n+1)$.

 

Ta có $2(1^k+2^k+ \cdots + n^k)= (1^k+n^k)+(2^k+(n-1)^k)+ \cdots + (n^k+1^k)$ chia hết cho $n+1$.

Và $2(1^k+2^k+ \cdots + n^k)= 2n^k+(1^k+(n-1)^k)+ \cdots + ((n-1)^k+1^k)$ chia hết cho $n$. Vậy $1^k+2^k+ \cdots + n^k$ chia hết cho $\frac{n(n+1)}{2}$.

 

#5
Tienanh tx
Đã gửi 25-08-2013 - 21:58

Tienanh tx

    $\Omega \textbf{Bùi Tiến Anh} \Omega$

  • Thành viên
  • 360 Bài viết

Mình cũng làm 1 cách khác ỡ đây, tuy hơi dài nhưng có thể làm cho các dạng tỗng quát còn lại. 


$\cdot$ $( - 1) = {( - 1)^5} = {( - 1)^{2.\frac{5}{2}}} = {\left[ {{{( - 1)}^2}} \right]^{\frac{5}{2}}} = {1^{\frac{5}{2}}} =\sqrt{1}= 1$

$\cdot$ $\dfrac{0}{0}=\dfrac{100-100}{100-100}=\dfrac{10.10-10.10}{10.10-10.10}=\dfrac{10^2-10^2}{10(10-10)}=\dfrac{(10-10)(10+10)}{10(10-10)}=\dfrac{20}{10}=2$

$\cdot$ $\pi\approx 2^{5^{0,4}}-0,6-\left(\frac{0,3^{9}}{7}\right)^{0,8^{0,1}}$

$\cdot$ $ - 2 = \sqrt[3]{{ - 8}} = {( - 8)^{\frac{1}{3}}} = {( - 8)^{\frac{2}{6}}} = {\left[ {{{( - 8)}^2}} \right]^{\frac{1}{6}}} = {64^{\frac{1}{6}}} = \sqrt[6]{{64}} = 2$

 

 

 

 

#6
Why Swim swim
Đã gửi 20-03-2017 - 20:51

Why Swim swim

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Ta có :

$B=101.50$

$gt\Rightarrow A=(100^{3}+1^{3})+(99^{3}+2^{3})+...+(50^{3}+51^{3})\Rightarrow A\vdots 101$

$gt\Rightarrow A=(99^{3}+1^{3})+(98^{3}+2^{3})+...+(49^{3}+51^{3})+50^{3}+100^{3}\Rightarrow A\vdots 50$

Mà : $(101;50)=1$

$\Rightarrow A\vdots 50.101\Rightarrow A\vdots B$

Bài còn lại bạn làm tương tự :)

a giải thíc giúp e cái chỗ giả thuyết => A với đc không ạ. cả 2 hàng luôn ạ 


Trở lại Đại số


0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh

  1. Diễn đàn Toán học
  2. → Toán Trung học Cơ sở
  3. → Đại số