Chủ đề này có 5 trả lời

[Nguyễn Hoàng Hảo]

1. Cho x,y,z thuộc đoạn [ 0;2] và x+y+z=3.

Tìm min và max của P= $x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx$

 

2. Cho x,y,z>0 thỏa x+y+z=3

Tìm min P = $\frac{x^{2}}{x+y^{2}} + \frac{y^{2}}{y+z^{2}}+\frac{z^{2}}{z+x^{2}}$

 

3. Cho x,y,z>0 thỏa x(x-1)+y(y-1)+z(z-1) $\leq$6

Tìm min P = $\frac{1}{x+y+1} + \frac{1}{y+z+1} + \frac{1}{z+x+1}$

 

4. Cho x,y,z>0 thỏa x+y+z=3

Tìm min P= $\frac{4x}{y(2\sqrt{1+8y^{3}}+4x-2)}+ \frac{4y}{z(2\sqrt{1+8z^{3}}+4y-2)} + \frac{4z}{x(2\sqrt{1+8x^{3}}+4z-2)}$

 

 

 

[sieu dao chich]

1. Cho x,y,z thuộc đoạn [ 0;2] và x+y+z=3.

Tìm min và max của P= $x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx$

 

2. Cho x,y,z>0 thỏa x+y+z=3

Tìm min P = $\frac{x^{2}}{x+y^{2}} + \frac{y^{2}}{y+z^{2}}+\frac{z^{2}}{z+x^{2}}$

 

3. Cho x,y,z>0 thỏa x(x-1)+y(y-1)+z(z-1) $\leq$6

Tìm min P = $\frac{1}{x+y+1} + \frac{1}{y+z+1} + \frac{1}{z+x+1}$

 

4. Cho x,y,z>0 thỏa x+y+z=3

Tìm min P= $\frac{4x}{y(2\sqrt{1+8y^{3}}+4x-2)}+ \frac{4y}{z(2\sqrt{1+8z^{3}}+4y-2)} + \frac{4z}{x(2\sqrt{1+8x^{3}}+4z-2)}$

Bài 3

Ta có $\dfrac{(x+y+z)^2}{3} \leq x^2+y^2+z^2 \leq x+y+z+6$

Suy ra $x+y+z\leq6$

$$P\geq\dfrac{9}{2(x+y+z)+3}\geq\dfrac{3}{5}$$

[sieu dao chich]

1. Cho x,y,z thuộc đoạn [ 0;2] và x+y+z=3.

Tìm min và max của P= $x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx$

 

2. Cho x,y,z>0 thỏa x+y+z=3

Tìm min P = $\frac{x^{2}}{x+y^{2}} + \frac{y^{2}}{y+z^{2}}+\frac{z^{2}}{z+x^{2}}$

 

3. Cho x,y,z>0 thỏa x(x-1)+y(y-1)+z(z-1) $\leq$6

Tìm min P = $\frac{1}{x+y+1} + \frac{1}{y+z+1} + \frac{1}{z+x+1}$

 

4. Cho x,y,z>0 thỏa x+y+z=3

Tìm min P= $\frac{4x}{y(2\sqrt{1+8y^{3}}+4x-2)}+ \frac{4y}{z(2\sqrt{1+8z^{3}}+4y-2)} + \frac{4z}{x(2\sqrt{1+8x^{3}}+4z-2)}$

Bài 2

$P=x+y+z-[\dfrac{xy^2}{x+y^2}+\dfrac{yz^2}{y+z^2}+\dfrac{zx^2}{z+x^2}]\geq x+y+z-\dfrac{1}{2}(\sqrt{x}y+\sqrt{y}z+\sqrt{z}x)$

$\geq x+y+z-\dfrac{1}{2}\sqrt{(xy+yz+zx)(x+y+z)}\geq x+y+z-\dfrac{1}{2}\sqrt{\frac{(x+y+z)^3}{3}}=\dfrac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieu dao chich: 28-08-2013 - 05:46

[sieu dao chich]

1. Cho x,y,z thuộc đoạn [ 0;2] và x+y+z=3.

Tìm min và max của P= $x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx$

 

2. Cho x,y,z>0 thỏa x+y+z=3

Tìm min P = $\frac{x^{2}}{x+y^{2}} + \frac{y^{2}}{y+z^{2}}+\frac{z^{2}}{z+x^{2}}$

 

3. Cho x,y,z>0 thỏa x(x-1)+y(y-1)+z(z-1) $\leq$6

Tìm min P = $\frac{1}{x+y+1} + \frac{1}{y+z+1} + \frac{1}{z+x+1}$

 

4. Cho x,y,z>0 thỏa x+y+z=3

Tìm min P= $\frac{4x}{y(2\sqrt{1+8y^{3}}+4x-2)}+ \frac{4y}{z(2\sqrt{1+8z^{3}}+4y-2)} + \frac{4z}{x(2\sqrt{1+8x^{3}}+4z-2)}$

Bài 4

Ta có $2\sqrt{1+8x^3}=2\sqrt{(1+2x)(1-2x+4x^2)}\leq\sqrt{\dfrac{(2+4x^2)^2}{4}}=2+4x^2$

Tương tự với các biểu thức còn lại ta có

$P\geq\frac{x}{xy+y^3}+\frac{y}{yz+z^3}+\frac{z}{zx+x^3}$

 $=(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})-(\frac{x}{x^2+z}+\frac{y}{y^2+x}+\frac{z}{z^2+x})$

$\geq(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})-\frac{1}{2}(\frac{x}{x\sqrt{z}}+\frac{y}{y\sqrt{x}}+\frac{z}{z\sqrt{y}})$

$=(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})-\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}})$

$\geq\frac{3}{2}(\frac{1}{\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}})-3$

$\geq\frac{27}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}})-3\geq\frac{27}{2\sqrt{3(x+y+z)}}-3=\frac{3}{2}$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[Lugiahooh]

Giúp bạn ấy bài 1 luôn ^^!

*** Ta có $P=\frac{1}{2}( (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 ) \geqslant 0$

Mà khi $x=y=z=1$, thì $P = 0$

Do đó $min P =0$

*** Biến đổi được $P = \frac{3}{2}(x^2+y^2+z^2)-\frac{9}{2}$

Từ giả thiết ta có $(x-2)(y-2)(z-2) \leqslant 0$

$\Rightarrow  xyz-2(xy+yz+zx)+4(x+y+z)-8\leqslant 0$
$\Rightarrow 4\leqslant 2(xy+yz+zx)$
$\Rightarrow x^2+y^2+z^2\leqslant (x+y+z)^2-4=5$

$\Rightarrow  P\leqslant \frac{3}{2}.5-\frac{9}{2}=3$
Với $x=0;y=1;z=2$ thì $P=3$

Vậy $maxP=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lugiahooh: 27-08-2013 - 22:26

[hoangmac]

1. Cho x,y,z thuộc đoạn [ 0;2] và x+y+z=3.

Tìm min và max của P= $x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx$

Dễ thấy $min P=0$ khi $x=y=z=1$

$Max$:giả sử $x\leq y \leq z$

$P=x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=\dfrac{3}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)-\dfrac{9}{2}\leq \dfrac{3}{2}\left[(x+y)^2+z^2\right]-\dfrac{9}{2}=3z^2-9z+9\leq 3$ (với $z\in \left[1;2\right]$)

Đẳng thức xảy ra khi $x=0, y=1, z=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangmac: 31-08-2013 - 12:28