Cho $a \geq 0$
CMR:
$\sqrt{a+\sqrt{a+...+\sqrt{a+\sqrt{a}}}}< \frac{1+\sqrt{4a+1}}{2}$
( n dấu căn bậc hai)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ILoveMathverymuch: 26-08-2013 - 20:40
$\sqrt{a+\sqrt{a+...+\sqrt{a+\sqrt{a}}}}< \frac{1+\sqrt{4a+1}}{2}$
Bắt đầu bởi ILoveMathverymuch, 26-08-2013 - 20:30
#1
Đã gửi 26-08-2013 - 20:30
ILoveMathverymuch
-
- Thành viên
-
- 111 Bài viết
Trung sĩ
#2
Đã gửi 26-08-2013 - 20:53
letankhang
-
- Thành viên
-
- 1079 Bài viết
$\sqrt{MF}'s$ $member$
Cho $a \geq 0$CMR:
$\sqrt{a+\sqrt{a+...+\sqrt{a+\sqrt{a}}}}< \frac{1+\sqrt{4a+1}}{2}$( n dấu căn bậc hai)
Đặt :
$x_{1}=\sqrt{a};x_{2}=\sqrt{a+\sqrt{a}};...;x_{n}=\sqrt{a+\sqrt{a+...+\sqrt{a}}}$ $(1)$
Do : $a\geq 0$
$\Rightarrow x_{n}\geq x_{n-1}$
1/ Nếu $a=0$ thì BĐT hiển nhiên đúng
2/ Nếu $a>0$ khi đó ta có $\Rightarrow x_{n}> x_{n-1}$
Mặt khác từ $(1)$ ta có : $x_{n}^{2}=a+x_{n-1}$
Vậy : $x_{n}^{2}< a+x_{n}\Rightarrow x_{n}^{2}-x_{n}-a< 0$ $(2)$
Xét : $f(t)=t^{2}-t-a<0$
Từ $(2)$ ta có $f(x_{n})< 0$. Vậy theo định lý đảo tam thức bậc 2 thì :
$t_{1}< x_{n}< t_{2}$
Với $t_{1}; t_{2}$ là 2 nghiệm của $f(t)$. Tức là :
$x_{n}< \frac{1+\sqrt{4a+1}}{2}$
Suy ra $(đpcm)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 26-08-2013 - 20:54
- ILoveMathverymuch, nguyentrungphuc26041999, hoctrocuanewton và 2 người khác yêu thích
$\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $
$\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$
#3
Đã gửi 26-08-2013 - 21:02
ILoveMathverymuch
-
- Thành viên
-
- 111 Bài viết
Trung sĩ
Đặt :
$x_{1}=\sqrt{a};x_{2}=\sqrt{a+\sqrt{a}};...;x_{n}=\sqrt{a+\sqrt{a+...+\sqrt{a}}}$ $(1)$
Do : $a\geq 0$
$\Rightarrow x_{n}\geq x_{n-1}$
1/ Nếu $a=0$ thì BĐT hiển nhiên đúng
2/ Nếu $a>0$ khi đó ta có $\Rightarrow x_{n}> x_{n-1}$
Mặt khác từ $(1)$ ta có : $x_{n}^{2}=a+x_{n-1}$
Vậy : $x_{n}^{2}< a+x_{n}\Rightarrow x_{n}^{2}-x_{n}-a< 0$ $(2)$
Xét : $f(t)=t^{2}-t-a<0$
Từ $(2)$ ta có $f(x_{n})< 0$. Vậy theo định lý đảo tam thức bậc 2 thì :
$t_{1}< x_{n}< t_{2}$
Với $t_{1}; t_{2}$ là 2 nghiệm của $f(t)$. Tức là :
$x_{n}< \frac{1+\sqrt{4a+1}}{2}$
Suy ra $(đpcm)$
Bạn có thể cho mình kinh nghiệm khi giải mấy bài này được không? lời giải của bạn rất hay
- trong213 và killermessi thích
Hoàng Sa-Trường Sa là của Việt Nam
#4
Đã gửi 26-08-2013 - 21:04
letankhang
-
- Thành viên
-
- 1079 Bài viết
$\sqrt{MF}'s$ $member$
Bạn có thể cho mình kinh nghiệm khi giải mấy bài này được không? lời giải của bạn rất hay
Mình cũng không biết phải nói sao
Nhưng thường hình như là áp dụng dấu của tam thức bậc 2 đó bạn @@!
$\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $
$\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$
#5
Đã gửi 26-08-2013 - 21:05
ILoveMathverymuch
-
- Thành viên
-
- 111 Bài viết
Trung sĩ
Mà bạn nè.Đinh lý đảo của tam thúc bậc 2 là gì vậy? minh chưa học tới .hì hì^^
- trong213 và killermessi thích
Hoàng Sa-Trường Sa là của Việt Nam
#6
Đã gửi 26-08-2013 - 21:10
ILoveMathverymuch
-
- Thành viên
-
- 111 Bài viết
Trung sĩ
Định lý: Xét một tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c. Nếu tồn tại một số a ÎR nào đó sao cho a.f(a) thì có 2 kết luận sau:
a. Tam thức f(x) = 0 có hai nghiệm x1; x2.
b. Số a nằm giữa 2 nghiệm này: x1 < a < x2.
Cái này đúng hok?
- trong213 và killermessi thích
Hoàng Sa-Trường Sa là của Việt Nam
#7
Đã gửi 26-08-2013 - 21:13
letankhang
-
- Thành viên
-
- 1079 Bài viết
$\sqrt{MF}'s$ $member$
Định lý: Xét một tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c. Nếu tồn tại một số a ÎR nào đó sao cho a.f(a) thì có 2 kết luận sau:
a. Tam thức f(x) = 0 có hai nghiệm x1; x2.
b. Số a nằm giữa 2 nghiệm này: x1 < a < x2.
Cái này đúng hok?
Ừ nó đó bạn rồi xét thêm $\Delta$ sẽ được như bài trên thôi 
- nguyentrungphuc26041999 yêu thích
$\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $
$\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
