CMR:
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ILoveMathverymuch: 26-08-2013 - 20:40
CMR:
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ILoveMathverymuch: 26-08-2013 - 20:40
Cho $a \geq 0$CMR:
$\sqrt{a+\sqrt{a+...+\sqrt{a+\sqrt{a}}}}< \frac{1+\sqrt{4a+1}}{2}$( n dấu căn bậc hai)
Đặt :
$x_{1}=\sqrt{a};x_{2}=\sqrt{a+\sqrt{a}};...;x_{n}=\sqrt{a+\sqrt{a+...+\sqrt{a}}}$ $(1)$
Do : $a\geq 0$
$\Rightarrow x_{n}\geq x_{n-1}$
1/ Nếu $a=0$ thì BĐT hiển nhiên đúng
2/ Nếu $a>0$ khi đó ta có $\Rightarrow x_{n}> x_{n-1}$
Mặt khác từ $(1)$ ta có : $x_{n}^{2}=a+x_{n-1}$
Vậy : $x_{n}^{2}< a+x_{n}\Rightarrow x_{n}^{2}-x_{n}-a< 0$ $(2)$
Xét : $f(t)=t^{2}-t-a<0$
Từ $(2)$ ta có $f(x_{n})< 0$. Vậy theo định lý đảo tam thức bậc 2 thì :
$t_{1}< x_{n}< t_{2}$
Với $t_{1}; t_{2}$ là 2 nghiệm của $f(t)$. Tức là :
$x_{n}< \frac{1+\sqrt{4a+1}}{2}$
Suy ra $(đpcm)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 26-08-2013 - 20:54
$\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $
$\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$
Đặt :
$x_{1}=\sqrt{a};x_{2}=\sqrt{a+\sqrt{a}};...;x_{n}=\sqrt{a+\sqrt{a+...+\sqrt{a}}}$ $(1)$
Do : $a\geq 0$
$\Rightarrow x_{n}\geq x_{n-1}$
1/ Nếu $a=0$ thì BĐT hiển nhiên đúng
2/ Nếu $a>0$ khi đó ta có $\Rightarrow x_{n}> x_{n-1}$
Mặt khác từ $(1)$ ta có : $x_{n}^{2}=a+x_{n-1}$
Vậy : $x_{n}^{2}< a+x_{n}\Rightarrow x_{n}^{2}-x_{n}-a< 0$ $(2)$
Xét : $f(t)=t^{2}-t-a<0$
Từ $(2)$ ta có $f(x_{n})< 0$. Vậy theo định lý đảo tam thức bậc 2 thì :
$t_{1}< x_{n}< t_{2}$
Với $t_{1}; t_{2}$ là 2 nghiệm của $f(t)$. Tức là :
$x_{n}< \frac{1+\sqrt{4a+1}}{2}$
Suy ra $(đpcm)$
Bạn có thể cho mình kinh nghiệm khi giải mấy bài này được không? lời giải của bạn rất hay
Bạn có thể cho mình kinh nghiệm khi giải mấy bài này được không? lời giải của bạn rất hay
Mình cũng không biết phải nói sao
Nhưng thường hình như là áp dụng dấu của tam thức bậc 2 đó bạn @@!
$\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $
$\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$
Mà bạn nè.Đinh lý đảo của tam thúc bậc 2 là gì vậy? minh chưa học tới .hì hì^^
Định lý: Xét một tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c. Nếu tồn tại một số a ÎR nào đó sao cho a.f(a) thì có 2 kết luận sau:
a. Tam thức f(x) = 0 có hai nghiệm x1; x2.
b. Số a nằm giữa 2 nghiệm này: x1 < a < x2.
Cái này đúng hok?
Định lý: Xét một tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c. Nếu tồn tại một số a ÎR nào đó sao cho a.f(a) thì có 2 kết luận sau:
a. Tam thức f(x) = 0 có hai nghiệm x1; x2.
b. Số a nằm giữa 2 nghiệm này: x1 < a < x2.
Cái này đúng hok?
Ừ nó đó bạn rồi xét thêm $\Delta$ sẽ được như bài trên thôi
$\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $
$\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh