Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác cân với $AB=AC=a,$ $\angle BAC=30^{o}$.Biết góc tạo bởi $B'C$ với mp$(ABB'A')$ là $30^{0}.$Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối lăng trụ $ABC.A'B'C'.$
Gọi $I$ tâm tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$, dễ chứng minh $ABCI$ hình thoi cạnh $a$
Gọi $I'$ tâm tròn ngoại tiếp $\Delta A'B'C'$, có $A'B'C'I'$ hình thoi cạnh $a$, nối $II'$ ta được trục của lăng trụ
Chứng minh góc $\widehat{CB'H}=\widehat{[B'C;(ABB'A')]}=30^{o}$ (với $H\in AB$ là chân đường cao kẻ từ $C$)
$M,O$ trung điểm $II', CC'$, chứng minh $M$ chính là tâm tròn cần tìm
Có $IC=a$
Xét $\Delta IBH \perp B$, tính $CH=\frac{BC}{\tan \widehat{BCH}}=a\sqrt{3}$
Xét $\Delta HB'C \perp H$, tính $CB'=\frac{HC}{\sin \widehat{CB'H}}=2a\sqrt{3}$
Pitago trong $\Delta B'C'C \perp C'$, ta được $CC'=a\sqrt{13}$
$\Rightarrow OC=MI=\frac{a\sqrt{13}}{2}$
Pitago trong $\Delta MIC \perp I$, ta được $MC=R=\frac{a\sqrt{17}}{2}$
Vậy thể tích cần tìm là $V=\frac{17\pi a^{3}\sqrt{17}}{6}$