Đến nội dung

Hình ảnh

$(x+y)^2+\frac{x+y}{2}\geq 2x\sqrt{y}+2y\sqrt{x}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
wowwow01

wowwow01

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

1/ Cho x,y là các số thực dương. Cmr:

$(x+y)^2+\frac{x+y}{2}\geq 2x\sqrt{y}+2y\sqrt{x}$

2/Cho a,b là 2 số thực bất kỳ có tổng =1. Cmr:

$a^3+b^3\geq \frac{1}{4}$

3/ Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn a+b+c=2 và ab+bc+ca=1

Cmr 0$\leq a,b,c\leq \frac{4}{3}$



#2
Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

1/ Cho x,y là các số thực dương. Cmr:

$(x+y)^2+\frac{x+y}{2}\geq 2x\sqrt{y}+2y\sqrt{x}$

2/Cho a,b là 2 số thực bất kỳ có tổng =1. Cmr:

$a^3+b^3\geq \frac{1}{4}$

3/ Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn a+b+c=2 và ab+bc+ca=1

Cmr 0$\leq a,b,c\leq \frac{4}{3}$

1/ Ta có :

$(\sqrt{x}-\frac{1}{2})^2\geq 0$ và $(\sqrt{y}-\frac{1}{2})^2\geq 0$

$\Leftrightarrow (x-\sqrt{x}+\frac{1}{4})+(y-\sqrt{y}+\frac{1}{4})\geq 0$

$\Leftrightarrow x+y+\frac{1}{2}\geq \sqrt{x}+\sqrt{y}>0$

Mà $x+y\geq 2\sqrt{xy}$>0

Nhân từng vế ta có :

(x+y)$(x+y+\frac{1}{2})$ $\geq 2\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})$

Khai triển ra là xong!



#3
Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

2/$a^3+b^3=a^2-ab+b^2$ ( do a+b=1)

<=> $2(a^3+b^3)=2(a^2-ab+b^2)=(a^2+b^2)+(a-b)^2\geq a^2+b^2$

<=>$2(a^3+b^3)\geq a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow (a^3+b^3)\geq \frac{1}{4}$



#4
Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

3/ Từ a+b+c=2 $\Rightarrow 2-a=b+c$

$\Rightarrow (2-a)^2=(b+c)^2\geq 4bc=4(1-a(b+c))=4(1-a(2-a))$

$\Rightarrow (2-a)^2\geq 4(a-1)^2$

$\Rightarrow a(3a-4)\leq 0$

$\Rightarrow 0\leq a\leq \frac{3}{4}$

tương tự với b,c






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh