Tìm đặc điểm tam giác ABC biết $\frac{acosA+bcosb+ccosC}{a+b+c}=\frac{1}{2}$
$\frac{acosA+bcosb+ccosC}{a+b+c}=\frac{1}{2}$
#1
Đã gửi 28-08-2013 - 17:55
#2
Đã gửi 28-08-2013 - 18:58
Tìm đặc điểm tam giác ABC biết $\frac{acosA+bcosb+ccosC}{a+b+c}=\frac{1}{2}$
Ta có $a=2R\sin A;b=2R\sin B;c=2R\sin C$ nên
$\frac{a\cos A+b\cos B+c\cos C}{a+b+c}=\frac{2\sin A.\cos A+2\sin B\cos B+2\sin C\cos C}{2(\sin A+\sin B+\sin C)}$
Biến đổi tiếp tục.
KQ cuối là tam giác này đều.
Facebook: https://www.facebook...toi?ref=tn_tnmn or https://www.facebook...GioiCungTopper/
Website: http://topper.vn/
Mail: [email protected]
#3
Đã gửi 07-08-2015 - 18:51
Tìm đặc điểm tam giác ABC biết $\frac{acosA+bcosb+ccosC}{a+b+c}=\frac{1}{2}$
Từ KQ của bạn @duongtoi, ta tính tiếp:
$\frac{a\cos A+b\cos B+c\cos C}{a+b+c}=\frac{2\sin A.\cos A+2\sin B\cos B+2\sin C\cos C}{2(\sin A+\sin B+\sin C)}\\=\frac{\sin2A+\sin2B+\sin2C}{2\left ( \sin A+\sin B+\sin C \right )}=\frac{1}{2}\\\Leftrightarrow \sin2A+\sin2B+\sin2C=\sin A+\sin B+\sin C$
Ta sẽ chứng minh $\sin2A+\sin2B+\sin2C\le\sin A+\sin B+\sin C$
Ta có: $\left (\sin2A+\sin2B \right )+\sin2C=2\sin C\cos\left ( A-B \right )-2\sin C\cos\left ( A+B \right )\\=2\sin C\left ( \cos\left ( A-B \right )- \cos\left ( A+B \right )\right )=4\sin A\sin B\sin C\le 4\frac{\left (\sin A+\sin B+\sin C \right )^3}{3}$
Mà ta có $\sin A+\sin B+\sin C\le\frac{\sqrt3}{2}\Leftrightarrow \left ( \sin A+\sin B+\sin C \right )^2\le\frac{3}{4}\\ \Leftrightarrow 4\frac{\left (\sin A+\sin B+\sin C \right )^3}{3}\le \sin A+\sin B+\sin C$
Dấu $=$ xảy ra $A=B=C$ hay $\triangle ABC$ đều \blacksquare
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 07-08-2015 - 18:54
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh