Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{acosA+bcosb+ccosC}{a+b+c}=\frac{1}{2}$

* * * * * 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
tmtd

tmtd

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 49 Bài viết

Tìm đặc điểm tam giác ABC biết $\frac{acosA+bcosb+ccosC}{a+b+c}=\frac{1}{2}$



#2
duongtoi

duongtoi

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 747 Bài viết

Tìm đặc điểm tam giác ABC biết $\frac{acosA+bcosb+ccosC}{a+b+c}=\frac{1}{2}$

Ta có $a=2R\sin A;b=2R\sin B;c=2R\sin C$ nên

$\frac{a\cos A+b\cos B+c\cos C}{a+b+c}=\frac{2\sin A.\cos A+2\sin B\cos B+2\sin C\cos C}{2(\sin A+\sin B+\sin C)}$

Biến đổi tiếp tục.

KQ cuối là tam giác này đều.



#3
LzuTao

LzuTao

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 310 Bài viết

Tìm đặc điểm tam giác ABC biết $\frac{acosA+bcosb+ccosC}{a+b+c}=\frac{1}{2}$

Từ KQ của bạn @duongtoi, ta tính tiếp:

$\frac{a\cos A+b\cos B+c\cos C}{a+b+c}=\frac{2\sin A.\cos A+2\sin B\cos B+2\sin C\cos C}{2(\sin A+\sin B+\sin C)}\\=\frac{\sin2A+\sin2B+\sin2C}{2\left ( \sin A+\sin B+\sin C \right )}=\frac{1}{2}\\\Leftrightarrow \sin2A+\sin2B+\sin2C=\sin A+\sin B+\sin C$

Ta sẽ chứng minh $\sin2A+\sin2B+\sin2C\le\sin A+\sin B+\sin C$

Ta có: $\left (\sin2A+\sin2B  \right )+\sin2C=2\sin C\cos\left ( A-B \right )-2\sin C\cos\left ( A+B \right )\\=2\sin C\left ( \cos\left ( A-B \right )- \cos\left ( A+B \right )\right )=4\sin A\sin B\sin C\le 4\frac{\left (\sin A+\sin B+\sin C  \right )^3}{3}$

Mà ta có $\sin A+\sin B+\sin C\le\frac{\sqrt3}{2}\Leftrightarrow \left ( \sin A+\sin B+\sin C \right )^2\le\frac{3}{4}\\ \Leftrightarrow  4\frac{\left (\sin A+\sin B+\sin C  \right )^3}{3}\le \sin A+\sin B+\sin C$

Dấu $=$ xảy ra $A=B=C$ hay $\triangle ABC$ đều \blacksquare

:icon10:  :icon10: 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 07-08-2015 - 18:54





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh