Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$\sum \frac{a^{4}}{a^{4}+\sqrt[3]{(a^{6}+b^{6})(a^{3}+c^{3})^{2}}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 phamchungminhhuy

phamchungminhhuy

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 69 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 29-08-2013 - 21:21

$\frac{a^{4}}{a^{4}+\sqrt[3]{(a^{6}+b^{6})(a^{3}+c^{3})^{2}}}+\frac{b^{4}}{b^{4}+\sqrt[3]{(b^{6}+c^{6})(b^{3}+a^{3})^{2}}}+\frac{c^{4}}{c^{4}+\sqrt[3]{(c^{6}+a^{6})(c^{3}+b^{3})^{2}}}\leq 1$         

-------

Chú ý cách đặt tiêu đề bạn nhé !


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan11: 30-08-2013 - 21:22


#2 Phạm Hữu Bảo Chung

Phạm Hữu Bảo Chung

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1360 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
  • Sở thích:Grey's Anatomy, Shameless, Game of Thrones

Đã gửi 30-08-2013 - 17:05

Giải

Theo BĐT Holder, với các số dương $x_1, x_2, x_3, y_1, y_2, y_3$ ta có: 
$$(x_1^3 + y_1^3)(x_2^3 + y_2^3)(x_3^3 + y_3^3) \geq (x_1x_2x_3 + y_1y_2y_3)^3$$
Áp dụng BĐT trên, khi đó:
$(a^6 + b^6)(a^3 + c^3)^2 = (a^6 + b^6)(c^3 + a^3)(c^3 + a^3) \geq (a^2c^2 + b^2a^2)^3$
Vì vậy
$\dfrac{a^4}{a^4 + \sqrt[3]{\left ( a^6 + b^6\right )\left ( a^3 + c^3\right )^2}} \leq \dfrac{a^4}{a^4 + (a^2c^2 + b^2a^2)} = \dfrac{a^2}{a^2 + b^2 + c^2}$
Thực hiện tương tự với các số hạng kia và cộng vế theo vế, ta có điều phải chứng minh.

 


Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế :)

#3 Kaito Kuroba

Kaito Kuroba

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 656 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HCM
  • Sở thích:$...$

Đã gửi 02-01-2014 - 21:09

bài này dùng cosi cũng được:

$\sqrt[3]{\left ( a^6+b^6 \right )\left ( a^3+c^3 \right )^2}=\sqrt[3]{a^{12}+2a^3b^6c^3+2a^9c^3+b^6c^6+a^6b^6+a^6c^6} \geq \sqrt[3]{3a^6b^4c^2+3a^6b^2c^4+a^6c^6+a^6b^6} =\sqrt[3]{(a^2b^2+a^2c^2)^3}=a^2b^2+a^2c^2$

mấy cai kia cũng tương tư:

$\Rightarrow \frac{a^4}{a^4+\sqrt[3]{(a^6+b^6)(a^3+b^3)^2}}\leq \frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}$

$"="\Leftrightarrow a=b=c>0$

đây la bài làm của mình. bài này chi sử dung cosi, nếu dùng holder thì dễ dàng hơn nhiều. nhưng Holder đã được bạn trên Cm rồi. mình không muốn lặp ý tưởng.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kaito Kuroba: 02-01-2014 - 21:09


#4 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 03-01-2014 - 07:32

bài này dùng cosi cũng được:

$\sqrt[3]{\left ( a^6+b^6 \right )\left ( a^3+c^3 \right )^2}=\sqrt[3]{a^{12}+2a^3b^6c^3+2a^9c^3+b^6c^6+a^6b^6+a^6c^6} \geq \sqrt[3]{3a^6b^4c^2+3a^6b^2c^4+a^6c^6+a^6b^6} =\sqrt[3]{(a^2b^2+a^2c^2)^3}=a^2b^2+a^2c^2$

mấy cai kia cũng tương tư:

$\Rightarrow \frac{a^4}{a^4+\sqrt[3]{(a^6+b^6)(a^3+b^3)^2}}\leq \frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}$

$"="\Leftrightarrow a=b=c>0$

đây la bài làm của mình. bài này chi sử dung cosi, nếu dùng holder thì dễ dàng hơn nhiều. nhưng Holder đã được bạn trên Cm rồi. mình không muốn lặp ý tưởng.

Bài này dùng AM-GM hình như ngắn gọn hơn thì phải



#5 Phuong Mark

Phuong Mark

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 225 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:${\text{Vitamin Vitamin}}$
  • Sở thích:Tự kỉ một mình trong rừng xanh

Đã gửi 16-02-2015 - 20:13

Bài này dùng AM-GM hình như ngắn gọn hơn thì phải

nhưng mà cái khai triển thì lợi hại quá 

@cái công phá ngoặc làm mình cảm thấy chán rồi


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phuong Mark: 16-02-2015 - 20:40

Hẹn ngày tái ngộ VMF thân yêu !

 

 

 


#6 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 16-02-2015 - 20:37

nhưng mà cái khai triển thì lợi hại quá 

Là sao bạn






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh