Chủ đề này có 2 trả lời

[Strygwyr]

Bài toán :

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Một đường thẳng qua $A$ cắt tiếp tuyến của $(O)$ tại $B,C$ ở $M,N$ và cắt $(O)$ tại $E$. Gọi $F$ là giao điểm của $BN$ và $CM$. Chứng minh $EF$ đi qua một điểm cố định khi đường thẳng qua $A$ thay đổi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Strygwyr: 30-08-2013 - 08:38

[LNH]

Bài toán :

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Một đường thẳng qua $A$ cắt tiếp tuyến của $(O)$ tại $B,C$ ở $M,N$ và cắt $(O)$ tại $E$. Gọi $F$ là giao điểm của $BM$ và $CN$. Chứng minh $EF$ đi qua một điểm cố định khi đường thẳng qua $A$ thay đổi.

Hình như đề này có vấn đề rồi, vì $F$ là điểm cố định nên $EF$ luôn đi qua $F$ cố định 

[BlackSelena]

Bài toán :

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Một đường thẳng qua $A$ cắt tiếp tuyến của $(O)$ tại $B,C$ ở $M,N$ và cắt $(O)$ tại $E$. Gọi $F$ là giao điểm của $BM$ và $CN$. Chứng minh $EF$ đi qua một điểm cố định khi đường thẳng qua $A$ thay đổi.

[Lâu lắm mới post bài :P, hình vẽ k0 'mượt' như xưa nữa =)) ]

Gọi giao điểm của $BM$ và $CN$ là $P$ Ta chứng minh $\overline{A,K,P}$

Theo $Ceva$ thì điều trên tương đương $\dfrac{\overline{BM}}{\overline{BP}} \cdot \dfrac{\overline{CP}}{\overline{CN}} \cdot \dfrac{\overline{AN}}{\overline{AM}} = -1$

$\Leftrightarrow \dfrac{\overline{BM}}{\overline{AM}} \cdot \dfrac{\overline{CN}}{\overline{AN}} = -1$
Mặt khác ta lại có

$\dfrac{\overline{MA}}{\overline{ME}} = \dfrac{\overline{NE}}{\overline{NA}} ( = (-\dfrac{\overline{CA}}{\overline{CE}})^2 ) $

$\Rightarrow\dfrac{\overline{BM}}{\overline{AM}} \cdot \dfrac{\overline{CN}}{\overline{AN}} = -1$

Ta có đpcm !~