Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum\frac{1}{a^3+1}\geq \frac{3}{1+abc}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
phancuong123

phancuong123

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 47 Bài viết

Cho $a,b,c\geqslant 1$.Chứng minh rằng:

$ \frac{1}{a^3+1}+\frac{1}{b^3+1}+\frac{1}{c^3+1}\geq \frac{3}{1+abc}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 30-08-2013 - 22:28


#2
nguyencuong123

nguyencuong123

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 587 Bài viết

Ta có: Áp dụng bđt phụ: $\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$

Ta có: $\frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{1+b^{3}}\geq \frac{2}{1+\sqrt{a^{3}b^{3}}}$

$\frac{1}{1+c^{3}}+\frac{1}{1+abc}\geq \frac{2}{1+\sqrt{abc^{4}}}$

Mà $\frac{1}{1+\sqrt{abc^{4}}}+\frac{1}{\sqrt{a^{3}b^{3}}}\geq \frac{2}{1+\sqrt[4]{(abc)^{4}}}=\frac{2}{1+abc}$

Từ các điều này suy ra đpcm


    :icon12:  :icon12:  :icon12:   Bình minh tắt nắng trời vương vấn :icon12:  :icon12:  :icon12:       

      :icon12: Một cõi chơi vơi, ta với ta  :icon12:       

:nav: My Facebook  :nav:  

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh