Đến nội dung

Hình ảnh

SỐ HỮU TỶ

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
cactus 12

cactus 12

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 21 Bài viết

1, Với a ,b,c $\epsilon$ Q thỏa mãn a +B^3 $\sqrt{3}+c^3 \sqrt{4} = 0$ thì a=b=c=0

2,tìm đa thức có các hệ số nguyên nhận x =$\sqrt{2}+\sqrt[3]{2}$ là nghiệm

3,CMR:$\sqrt[3]{2}$ không thể biểu diễn được dưới dạng p +$q\sqrt{m}$ với m  ,q,p $\epsilon$ Q ,m >0 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cactus 12: 31-08-2013 - 13:26


#2
Kool LL

Kool LL

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 370 Bài viết

 1, Với a ,b,c $\epsilon$ Q thỏa mãn a +$\sqrt{3}+c^3 \sqrt{4} = 0$ thì a=b=c=0

HÌnh như đề đúng ra là thế này phải không? : Với $a,b,c \in\mathbb{Q}$ : $a+b.\sqrt[2]{3}+c.\sqrt[3]{4} = 0\Leftrightarrow a=b=c=0$

 

* $(\Leftarrow) :$ Hiển nhiên đúng.

* $(\Rightarrow) :$ $(gt)\Rightarrow -4c^3=(a+b\sqrt[2]{3})^3=a^3+3a^2b.\sqrt{3}+9ab^2+3b^3.\sqrt{3}$ $=a^3+9ab^2+3b(a^2+b^2).\sqrt{3}$

$\Rightarrow -(4c^3+a^3+9ab^2)=3b(a^2+b^2).\sqrt{3}$. (1)

  • Nếu $3b(a^2+b^2)\ne0$ thì $(1)\Rightarrow \sqrt{3}=-\frac{4c^3+a^3+9ab^2}{3b(a^2+b^2)}\in\mathbb{Q}$ !(Vô lý vì $\sqrt{3}$ là số vô tỷ, không phải số hữu tỷ, điều này chắc

ai cũng biết CM).

Suy ra $4c^3+a^3+9ab^2=3b(a^2+b^2)=0$. (2)

 

  • Nếu $a\ne0\overset{(2)}{\Rightarrow}b=0$ và $4c^3+a^3=0\Rightarrow c\ne0$ và $\sqrt[3]{4}=\frac{-a}{c}\in\mathbb{Q}$ ! (Vô lý vì $\sqrt[3]{4}$ là số vô tỷ, không phải số hữu tỷ, dùng tính

chia hết trong $\mathbb{Z}$ để CM).

Suy ra $a=0\overset{(2)}{\Rightarrow}b=0$ và $c=0$.

Vậy ta có đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 31-08-2013 - 04:02


#3
cactus 12

cactus 12

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 21 Bài viết

HÌnh như đề đúng ra là thế này phải không? : Với $a,b,c \in\mathbb{Q}$ : $a+b.\sqrt[2]{3}+c.\sqrt[3]{4} = 0\Leftrightarrow a=b=c=0$

 

* $(\Leftarrow) :$ Hiển nhiên đúng.

* $(\Rightarrow) :$ $(gt)\Rightarrow -4c^3=(a+b\sqrt[2]{3})^3=a^3+3a^2b.\sqrt{3}+9ab^2+3b^3.\sqrt{3}$ $=a^3+9ab^2+3b(a^2+b^2).\sqrt{3}$

$\Rightarrow -(4c^3+a^3+9ab^2)=3b(a^2+b^2).\sqrt{3}$. (1)

  • Nếu $3b(a^2+b^2)\ne0$ thì $(1)\Rightarrow \sqrt{3}=-\frac{4c^3+a^3+9ab^2}{3b(a^2+b^2)}\in\mathbb{Q}$ !(Vô lý vì $\sqrt{3}$ là số vô tỷ, không phải số hữu tỷ, điều này chắc

ai cũng biết CM).

Suy ra $4c^3+a^3+9ab^2=3b(a^2+b^2)=0$. (2)

 

  • Nếu $a\ne0\overset{(2)}{\Rightarrow}b=0$ và $4c^3+a^3=0\Rightarrow c\ne0$ và $\sqrt[3]{4}=\frac{-a}{c}\in\mathbb{Q}$ ! (Vô lý vì $\sqrt[3]{4}$ là số vô tỷ, không phải số hữu tỷ, dùng tính

chia hết trong $\mathbb{Z}$ để CM).

Suy ra $a=0\overset{(2)}{\Rightarrow}b=0$ và $c=0$.

Vậy ta có đpcm.

đề đúng là $a + b^3 \sqrt{3}+ c^3 \sqrt{4}= 0$ ,CM :a=b=c=0



#4
Kool LL

Kool LL

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 370 Bài viết

đề đúng là $a + b^3 \sqrt{3}+ c^3 \sqrt{4}= 0$ ,CM :a=b=c=0

oh, nếu đề như vậy thì kết luận $a=b=c=0$ là sai đấy ! Phản ví dụ : $a=-16,b=0,c=2$ thì $(gt)$ cũng đúng mà.

Hay là đề thế này : $a+b.\sqrt[3]{3}+c.\sqrt[3]{4}=0$ ?

 

$(gt)\Leftrightarrow (a)^3+(b.\sqrt[3]{3})^3+(c.\sqrt[3]{4})^3=3.(a)(b.\sqrt[3]{3})(c.\sqrt[3]{4})\Leftrightarrow a^3+3b^3+4c^3=3abc.\sqrt{12}$. (1)

Do $\sqrt[3]{12}$ là số vô tỷ nên $(1)\Leftrightarrow a^3+3b^3+4c^3=3abc=0$. (2)

$\Rightarrow a=0;b,c\ne0$ hoặc $b=0;a,c\ne0$ hoặc $c=0;a,b\ne0$ hoặc $a=b=c=0$.

  • nếu $a=0;b,c\ne0\Rightarrow 3b^3+4c^3=0\Rightarrow\sqrt[3]{\frac{4}{3}}=\frac{-b}{c}$ ! (Vô lý vì $\sqrt[3]{\frac{4}{3}}$ là số vô tỷ, $\frac{-b}{c}$ là số hữu tỷ).
  • nếu $b=0;a,c\ne0\Rightarrow a^3+4c^3=0\Rightarrow\sqrt[3]{4}=\frac{-a}{c}$ ! (Vô lý vì $\sqrt[3]{4}$ là số vô tỷ, $\frac{-a}{c}$ là số hữu tỷ).
  • nếu $c=0;a,b\ne0\Rightarrow a^3+3b^3=0\Rightarrow\sqrt[3]{3}=\frac{-a}{b}$ ! (Vô lý vì $\sqrt[3]{3}$ là số vô tỷ, $\frac{-a}{b}$ là số hữu tỷ).

Vậy $a=b=c=0$. Thử lại thấy thoả (gt).


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 01-09-2013 - 20:40

  • LNH yêu thích

#5
Kool LL

Kool LL

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 370 Bài viết

2,Tìm đa thức có các hệ số nguyên nhận $x=\sqrt{2}+\sqrt[3]{2}$ là nghiệm
3,CMR: $\sqrt[3]{2}$ không thể biểu diễn được dưới dạng p +$q\sqrt{m}$ với m  ,q,p $\epsilon$ Q ,m >0 

 

2. $x=\sqrt{2}+\sqrt[3]{2}\Rightarrow \sqrt[3]{2}=x-\sqrt{2}$$\Rightarrow 2=(x-\sqrt{2})^3=x^3+3x^2\sqrt{2}-6x-8\Rightarrow 3x^2\sqrt{2}=10+6x-x^3$

$\Rightarrow 12x^4=(10+6x-x^3)^2=100+36x^2+x^6+120x-20x^3-12x^4$

$\Rightarrow x^6-24x^4-20x^3+36x^2+120x+100=0$ là đa thức cần tìm.

 

3. G/s $\sqrt[3]{2}=p+q.\sqrt{m}\Rightarrow 2=(p+q.\sqrt{m})^3=p^3+3p^2q.\sqrt{m}+3pq^2m+q^3m.\sqrt{m}$$\Rightarrow 2-p^3-3pq^2m=q(3p^2+q^2m).\sqrt{m}$

Do $\sqrt{m}$ là số vô tỷ nên suy ra $2-p^3-3pq^2m=3q(p^2+q^2m)=0$. (*)

  • nếu $q=0$ thì $(*)\Rightarrow 2-p^3=0\Rightarrow p=\sqrt[3]{2}$ ! (Vô lý vì $p$ hữu tỷ, $\sqrt[3]{2}$ vô tỷ).
  • nếu $q\ne0$ thì $(*)\Rightarrow p^2+q^2m=0\Rightarrow p=q=0$ (do $m>0$) $\overset{(*)}{\Rightarrow}$ 2=0 ! (Vô lý)

Vậy $\sqrt[3]{2}$ không thể biểu diễn được dưới dạng $p+q.\sqrt{m}$ với $m,p,q\in\mathbb{Q}, m>0$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 01-09-2013 - 20:39





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh