Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

CMR: $\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\geq \frac{9}{2\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right )}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 haitaczizi

haitaczizi

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 19 Bài viết

Đã gửi 31-08-2013 - 22:01

Cho $a+b+c=3$.CMR:

$\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\geq \frac{9}{2\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right )}$

 

@@:Bạn chú ý cách đặt tiêu đề nhé !


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 01-09-2013 - 09:15


#2 nguyencuong123

nguyencuong123

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 587 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10A1 THPT Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An
  • Sở thích:Được người khác chia sẻ thêm nhiều kiến thức về Toán học.

Đã gửi 31-08-2013 - 23:53

Ta sẽ chứng minh $VT\geq \frac{3}{2}$

Ta có: $VT=\sum \frac{1}{1+ab}=\frac{2\sum ab+3abc+3}{\sum ab+3abc+a^{2}b^{2}c^{2}+1}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum ab+3\geq 3abc+3a^{2}b^{2}c^{2}$ mà $3=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq 1\Rightarrow 3abc\leq 3$ và $\sum ab\geq 3\sqrt[3]{(abc)^{2}}\geq 3(abc)^{2}$ vì $abc\leq 1\Rightarrow (abc)^{3}\leq abc\Rightarrow \sqrt[3]{abc}\geq abc$.

Từ các điều trên ta có đpcm


    :icon12:  :icon12:  :icon12:   Bình minh tắt nắng trời vương vấn :icon12:  :icon12:  :icon12:       

      :icon12: Một cõi chơi vơi, ta với ta  :icon12:       

:nav: My Facebook  :nav:  

 


#3 haitaczizi

haitaczizi

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 19 Bài viết

Đã gửi 01-09-2013 - 10:25

Bạn ơi $VP\geq \frac{3}{2} mà$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi haitaczizi: 01-09-2013 - 10:26


#4 haitaczizi

haitaczizi

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 19 Bài viết

Đã gửi 01-09-2013 - 20:06

Ta sẽ chứng minh $VT\geq \frac{3}{2}$

Ta có: $VT=\sum \frac{1}{1+ab}=\frac{2\sum ab+3abc+3}{\sum ab+3abc+a^{2}b^{2}c^{2}+1}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum ab+3\geq 3abc+3a^{2}b^{2}c^{2}$ mà $3=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq 1\Rightarrow 3abc\leq 3$ và $\sum ab\geq 3\sqrt[3]{(abc)^{2}}\geq 3(abc)^{2}$ vì $abc\leq 1\Rightarrow (abc)^{3}\leq abc\Rightarrow \sqrt[3]{abc}\geq abc$.

Từ các điều trên ta có đpcm

Sai rồi



#5 nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK
  • Sở thích:Ai chơi lmht không :)

Đã gửi 03-09-2013 - 22:29

=.=? nhầm mất rồi, VP$\geq \frac{3}{2}$

chứ ko phải VT


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nghiemthanhbach: 03-09-2013 - 22:30


#6 VodichIMO

VodichIMO

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT chuyên Hà Tĩnh.
  • Sở thích:Chơi game, xem đá bóng, nghe nhạc, làm toán,...

Đã gửi 21-09-2013 - 23:13

Cho $a+b+c=3$.CMR:

$\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\geq \frac{9}{2\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right )}$

 

@@:Bạn chú ý cách đặt tiêu đề nhé !

$\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\geq \frac{9}{2\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right )}$

$\Rightarrow$ $3$ $-$ $(\frac{ab}{ab+1}+\frac{bc}{bc+1}+\frac{ac}{ac+1})$ $\geq$ $\frac{9}{2\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right )}$

Ta có: $3$ $-$ $(\frac{ab}{ab+1}+\frac{bc}{bc+1}+\frac{ac}{ac+1})$ $\geq$ $3$ $-$ $\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{2}$.

Giờ ta cần chứng minh: $3$ $-$ $(\frac{ab}{ab+1}+\frac{bc}{bc+1}+\frac{ac}{ac+1})$ $\geq$ $\frac{9}{2\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right )}$   $(*)$

Đặt $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=t$ ($t>0$) $\Rightarrow$ $t^2=a+b+c+2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$

$\Rightarrow$ $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=\frac{t^2-3}{2}$

Thay vào $(*)$ ta được:

$3-\frac{t^2-3}{4}$ $\geq$ $\frac{9}{2t}$ $\Rightarrow$ $\frac{15-t^2}{4}$

$\Rightarrow$ $t^3-15t+18$ $\leq$ $0$ $\Rightarrow$ $(t-3)(t^2+3t-6)$ $\leq$ $0$.   $(**)$

Dễ dàng chứng minh: $\sqrt{3}$ $<$ $t$ $\leq$ $3$

$\Rightarrow$ $(**)$ đúng. Suy ra đpcm. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$


BẤT ĐẲNG THỨC CHÍNH LÀ THUỐC PHIỆN CỦA TOÁN HỌC  :namtay


#7 trandaiduongbg

trandaiduongbg

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 327 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\textit{Chôn nỗi đau nơi tận cùng thế giới}$
  • Sở thích:$\textit{Nhìn thấy bạn mỉm cười...}$

Đã gửi 22-09-2013 - 08:29

ĐHV THCS Xóa hộ mình bài này với, máy mình lag quá, ấn nhầm gửi bài


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trandaiduongbg: 22-09-2013 - 08:34

79c224405ed849a4af82350b3f6ab358.0.gif

 

 


#8 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 22-09-2013 - 08:36

Cho tg ABC CMR: $r_a+r_b+r_c \geq 9r$

Bất đẳng thức này cực kì yếu.

Ta có một dãy bất đẳng thức mạnh hơn gấp nhiều lần :

$$9r\leq h_{a}+h_{b}+h_{c}\leq l_{a}+l_{b}+l_{c}\leq m_{a}+m_{b}+m_{c}\leq r_{a}+r_{b}+r_{c}$$

Chứng minh tại đây


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh