Chủ đề này có 7 trả lời

[haitaczizi]

Cho $a+b+c=3$.CMR:

$\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\geq \frac{9}{2\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right )}$

 

@@:Bạn chú ý cách đặt tiêu đề nhé !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 01-09-2013 - 09:15

[nguyencuong123]

Ta sẽ chứng minh $VT\geq \frac{3}{2}$

Ta có: $VT=\sum \frac{1}{1+ab}=\frac{2\sum ab+3abc+3}{\sum ab+3abc+a^{2}b^{2}c^{2}+1}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum ab+3\geq 3abc+3a^{2}b^{2}c^{2}$ mà $3=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq 1\Rightarrow 3abc\leq 3$ và $\sum ab\geq 3\sqrt[3]{(abc)^{2}}\geq 3(abc)^{2}$ vì $abc\leq 1\Rightarrow (abc)^{3}\leq abc\Rightarrow \sqrt[3]{abc}\geq abc$.

Từ các điều trên ta có đpcm

[haitaczizi]

Bạn ơi $VP\geq \frac{3}{2} mà$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi haitaczizi: 01-09-2013 - 10:26

[haitaczizi]

Ta sẽ chứng minh $VT\geq \frac{3}{2}$

Ta có: $VT=\sum \frac{1}{1+ab}=\frac{2\sum ab+3abc+3}{\sum ab+3abc+a^{2}b^{2}c^{2}+1}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum ab+3\geq 3abc+3a^{2}b^{2}c^{2}$ mà $3=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq 1\Rightarrow 3abc\leq 3$ và $\sum ab\geq 3\sqrt[3]{(abc)^{2}}\geq 3(abc)^{2}$ vì $abc\leq 1\Rightarrow (abc)^{3}\leq abc\Rightarrow \sqrt[3]{abc}\geq abc$.

Từ các điều trên ta có đpcm

Sai rồi

[nghiemthanhbach]

=.=? nhầm mất rồi, VP$\geq \frac{3}{2}$

chứ ko phải VT

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nghiemthanhbach: 03-09-2013 - 22:30

[VodichIMO]

Cho $a+b+c=3$.CMR:

$\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\geq \frac{9}{2\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right )}$

 

@@:Bạn chú ý cách đặt tiêu đề nhé !

$\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\geq \frac{9}{2\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right )}$

$\Rightarrow$ $3$ $-$ $(\frac{ab}{ab+1}+\frac{bc}{bc+1}+\frac{ac}{ac+1})$ $\geq$ $\frac{9}{2\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right )}$

Ta có: $3$ $-$ $(\frac{ab}{ab+1}+\frac{bc}{bc+1}+\frac{ac}{ac+1})$ $\geq$ $3$ $-$ $\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{2}$.

Giờ ta cần chứng minh: $3$ $-$ $(\frac{ab}{ab+1}+\frac{bc}{bc+1}+\frac{ac}{ac+1})$ $\geq$ $\frac{9}{2\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right )}$   $(*)$

Đặt $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=t$ ($t>0$) $\Rightarrow$ $t^2=a+b+c+2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$

$\Rightarrow$ $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=\frac{t^2-3}{2}$

Thay vào $(*)$ ta được:

$3-\frac{t^2-3}{4}$ $\geq$ $\frac{9}{2t}$ $\Rightarrow$ $\frac{15-t^2}{4}$

$\Rightarrow$ $t^3-15t+18$ $\leq$ $0$ $\Rightarrow$ $(t-3)(t^2+3t-6)$ $\leq$ $0$.   $(**)$

Dễ dàng chứng minh: $\sqrt{3}$ $<$ $t$ $\leq$ $3$

$\Rightarrow$ $(**)$ đúng. Suy ra đpcm. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

[trandaiduongbg]

ĐHV THCS Xóa hộ mình bài này với, máy mình lag quá, ấn nhầm gửi bài

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trandaiduongbg: 22-09-2013 - 08:34

[Juliel]

Cho tg ABC CMR: $r_a+r_b+r_c \geq 9r$

Bất đẳng thức này cực kì yếu.

Ta có một dãy bất đẳng thức mạnh hơn gấp nhiều lần :

$$9r\leq h_{a}+h_{b}+h_{c}\leq l_{a}+l_{b}+l_{c}\leq m_{a}+m_{b}+m_{c}\leq r_{a}+r_{b}+r_{c}$$

Chứng minh tại đây