Chủ đề này có 3 trả lời

[conan98md]

1/ P= $(3+\frac{1}{b}+\frac{1}{b})(3+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(3+\frac{1}{c}+\frac{1}{a})$. tìm min P

 

Trong đó: a,b,c > 0 thoả mãn a+b+c $\leq $  $\frac{3}{2}$

 

2/ CM : $\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+ \frac{c}{a+b+1}$+(1-a)(1-b)(1-c) $\leq$ 1

 

 

với 0 $\leq$ a,b,c $\leq$ 1

 

 

[letankhang]

 

 

2/ CM : $\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+ \frac{c}{a+b+1}$+(1-a)(1-b)(1-c) $\leq$ 1

 

 

với 0 $\leq$ a,b,c $\leq$ 1

 

Đặt : $S=a+b+c+1$

Do $a;b;c$ có vai trò như nhau nên ta giả sử : $a\leq b\leq c$; khi đó :

$(1-a)(1-b)(1+a+b)\leq 1\Leftrightarrow (1-b-a+ab)(1+a+b)\leq 1\Leftrightarrow 1+a+b-b-ba-b^{2}-a-a^{2}-ab+ab+a^{2}b+ab^{2}\leq 1\Leftrightarrow -ba-b^{2}-a^{2}+a^{2}b+ab^{2}\leq 0\Leftrightarrow -b(a+b)-a^{2}+ab(a+b)\leq 0\Leftrightarrow b(a+b)(a-1)-a^{2}\leq 0(đúng\forall a;b;c)$

Vậy : $(1-a)(1-b)(1+a+b)\leq 1$

$(1-a)(1-b)\leq \frac{1}{1+a+b}=\frac{1}{S-c}\Leftrightarrow (1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{1-c}{S-c}$

Do đó :

$\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{c}{b+a+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{a}{S-c}+\frac{b}{S-c}+\frac{c}{S-a}+\frac{1-c}{S-c}=\frac{S-c}{S-c}=1$

Suy ra $(đpcm)$

[nguyentrungphuc26041999]

 

1/ P= $(3+\frac{1}{b}+\frac{1}{b})(3+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(3+\frac{1}{c}+\frac{1}{a})$. tìm min P

 

Trong đó: a,b,c > 0 thoả mãn a+b+c $\leq $  $\frac{3}{2}$

 

2/ CM : $\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+ \frac{c}{a+b+1}$+(1-a)(1-b)(1-c) $\leq$ 1

 

 

với 0 $\leq$ a,b,c $\leq$ 1

 

có lẽ đề sai 

thế này$P=\prod \left ( 3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )$

thôi thì thế nha

áp dụng bất đẳng thức cauchy

$P=\prod\left ( 3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )\geq\prod \left ( 2a+2b+2c+ \frac{1}{2a}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2b}\right )$

$\geq \prod \left ( 7\sqrt[7]{\frac{c}{2ab}} \right )= 7^{3}\sqrt[7]{\frac{abc}{8a^{2}b^{2}c^{2}}}= 7^{3}\sqrt[7]{\frac{1}{8abc}}$

lại có

$\frac{3}{2}\geq a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$

$\Rightarrow abc\leq \frac{1}{8}$

$\Rightarrow 7^{3}\sqrt[7]{\frac{1}{8abc}}\geq 7^{3}\sqrt[7]{\frac{1}{8.\frac{1}{8}}}= 7^{3}$

dấu bằng $a=b=c=\frac{1}{2}$

[KietLW9]

 

1/ P= $(3+\frac{1}{b}+\frac{1}{b})(3+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(3+\frac{1}{c}+\frac{1}{a})$. tìm min P

 

Trong đó: a,b,c > 0 thoả mãn a+b+c $\leq $  $\frac{3}{2}$

Ta dễ có:$VT\geq \prod (3+\frac{4}{a+b})$

Đặt $(a+b,b+c,c+a)\rightarrow (x,y,z)$ thì $x+y+z=2(a+b+c)\leq 3$

Ta cần tìm GTNN của $(3+\frac{4}{x})(3+\frac{4}{y})(3+\frac{4}{z})=27+36(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+48(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx})+\frac{64}{xyz}\geq 343$

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c $=\frac{1}{2}$