Đến nội dung

Hình ảnh

Cho$\Delta ABC$.Chứng minh: a)$\frac{1+\cos \frac{A}{2}}{A}+...$

tam giác đạo hàm

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
hihi2zz

hihi2zz

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 248 Bài viết

Chứng minh mọi tam giác $ABC$ ta luôn có

$a)$$\frac{1+\cos \frac{A}{2}}{A}+\frac{1+\cos \frac{B}{2}}{B}+\frac{1+\cos \frac{C}{2}}{C}>3\sqrt{3}$

$b)\cot A+\cot B+\cot C+3\sqrt{3}\leq 2(\frac{1}{\sin A}+\frac{1}{\sin B}+\frac{1}{\sin C})$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hihi2zz: 01-09-2013 - 15:41

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

                   Cách duy nhất để học toán là làm toán                            

 


#2
Saigonweed

Saigonweed

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Chứng minh mọi tam giác $ABC$ ta luôn có

$a)$$\frac{1+\cos \frac{A}{2}}{A}+\frac{1+\cos \frac{B}{2}}{B}+\frac{1+\cos \frac{C}{2}}{C}>3\sqrt{3}$

$b)\cot A+\cot B+\cot C+3\sqrt{3}\leq 2(\frac{1}{\sin A}+\frac{1}{\sin B}+\frac{1}{\sin C})$

Lời giải.

a) Ta sẽ chứng minh $$\cos x>1-\frac{x^{2}}{2}, \ \ \forall x>0.$$

Thật vậy xét hàm số $$f\left ( x \right )=\cos x+\frac{x^{2}}{2}-1$$

$$f'\left ( x \right )=-\sin x+x.$$
Đặt $g\left ( x \right )=f'\left ( x \right )$ ta được $$g'\left ( x \right )=-\cos x+1>0.$$
Do đó, $g\left ( x \right )$ đồng biến.
Suy ra $$g\left ( x \right )>g\left ( 0 \right )=0.$$
Ta có $f\left ( x \right )$ đồng biến.
Suy ra $$f\left ( x \right )>f\left ( 0 \right )=0.$$
Vậy bất đẳng thức trên đúng.
Áp dụng vào bài toán ta được $$\cos \frac{A}{2}>1-\frac{A^{2}}{8}.$$
Suy ra $$\frac{1+\cos \frac{A}{2}}{2}>\frac{2}{A}-\frac{A}{8}.$$
Tương tự, ta có $$\frac{1+\cos \frac{B}{2}}{2}>\frac{2}{A}-\frac{B}{8}$$
$$\frac{1+\cos \frac{C}{2}}{2}>\frac{2}{A}-\frac{C}{8}.$$
Do đó $$\text{LHS}>2\left ( \frac{1}{A}+\frac{1}{B}+\frac{1}{C} \right )-\frac{A+B+C}{8}.$$
Ta có bất đẳng thức sau $$\left ( A+B+C \right )\left ( \frac{1}{A}+\frac{1}{B}+\frac{1}{C} \right )\geq 9.$$
Suy ra $$\frac{1}{A}+\frac{1}{B}+\frac{1}{C}\geq \frac{9}{\pi}.$$
Vậy $$\text{LHS}>\frac{18}{\pi}-\frac{\pi}{8}>3\sqrt{3}.$$
b) Gợi ý xét hàm số $f\left ( x \right )=\cot x-\frac{2}{\sin x}, x\in \left ( 0;\frac{\pi}{2} \right )$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Saigonweed: 01-09-2013 - 17:25






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: tam giác, đạo hàm

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh