Tìm $m$ để $2sinx+mcosx=1-m$ có nghiệm $x\in\begin{bmatrix} \dfrac{-\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} & \end{bmatrix}$
Tìm $m$ để $2sinx+mcosx=1-m$ có nghiệm $x\in\begin{bmatrix} \dfrac{-\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} & \end{bmatrix}$
#1
Đã gửi 01-09-2013 - 19:20
#2
Đã gửi 01-09-2013 - 19:46
Do $b+c=m+(1-m)\neq 0$ nên $cos\dfrac{x}{2}=0$ không phải là nghiệm của $PT$
Đặt $t=tan\dfrac{x}{2}$ thì $PT\Leftrightarrow 2.\dfrac{2t}{1+t^{2}}+m.\dfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}}=1-m\Leftrightarrow 4t+m(1-t^{2})=(1-m)(1+t^{2})\Leftrightarrow f(t)=t^{2}-4t+1-2m=0$
Cách 1: Yêu cầu của bài toán $\Leftrightarrow f(t)=t^{2}-4t+1-2m=0$ có nghiệm $t\in[-1;1]$
Xét $f(-1)=0\Leftrightarrow 6-2m=0\Leftrightarrow m=3(TM)$
Xét $f(1)=0\Leftrightarrow -2-2m=0\Leftrightarrow m=-1(TM)$
Xét $f(t)=0$ có một nghiệm $t\in(-1;1)$ và 1 nghiệm $t\notin [-1;1]$
$\Leftrightarrow f(-1)f(1)=(6-2m)(-2-2m)< 0\Leftrightarrow (2m-6)(2m+2)<0\Leftrightarrow -1<m<3$
Xét $f(t)=0$ có 2 nghiệm $t_{1},t_{2}$ thoả mãn $-1<t_{1}\leq t_{2}<1$
$\Leftrightarrow \begin{Bmatrix} \Delta'\geq 0;1.f(-1)>0;1.f(1)>0;-1<\dfrac{S}{2}<1 & \end{Bmatrix},$ hệ này vô nghiệm
Kết luận PT có nghiệm $x\in\begin{bmatrix} \dfrac{-\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} & \end{bmatrix}\Leftrightarrow -1\leq m\leq 3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnnieSally: 01-09-2013 - 19:53
- nhatquangsin, bangbang1412, aao5717 và 2 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 01-09-2013 - 20:00
Tìm $m$ để $2sinx+mcosx=1-m$ có nghiệm $x\in\begin{bmatrix} \dfrac{-\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} & \end{bmatrix}$
Ta có đk có nghiệm của dạng bài này là:$\left(m-1 \right )^{2}\leq 2^{2}+ m^{2}$
$\Leftrightarrow m\geq \frac{-3}{2}$
pt đã cho: $2sinx+mcosx=1-m$
$\Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{4+m^{2}}}\sin{x}+ \frac{m}{\sqrt{4+m^{2}}}\cos{x}= \frac{1-m}{\sqrt{4+m^{2}}}=\sin{\alpha }$
$\Leftrightarrow \sin(\beta+ x)= \sin{\alpha}$
$\Leftrightarrow x= \alpha -\beta +k2\pi \vee x= \pi - \alpha-\beta +k2\pi \left(k \in \mathbb{Z} \right )$
Xét $x= \alpha -\beta +k2\pi$ để $x\in\begin{bmatrix} \dfrac{-\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} & \end{bmatrix}$
$\Leftrightarrow \cos{x}\geq 0\Leftrightarrow \cos( \alpha -\beta )\geq 0$
$\Leftrightarrow \cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}\geq 0$
$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2m+3}}{\sqrt{m^{2}+4}}\frac{2}{\sqrt{m^{2}+4}}+ \frac{m}{\sqrt{4+m^{2}}}\frac{1-m}{\sqrt{4+m^{2}}}\geq 0$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{2m+3}-m^{2}+m\geq 0$
$\Leftrightarrow 4\left(2m+3 \right )\geq m^{4}-2m^{3}+m^{2}$ Đk: $0\geq m\geq \frac{-3}{2} \vee m\geq 1$
$\Leftrightarrow \left(m+1 \right )\left(m-3 \right )\left(m^{2}+4 \right )\leq 0$
$\Leftrightarrow -1\leq m\leq 3$
kết hợp vs đk ta có $-1\leq m \leq 3$
Xét $x= \pi - \alpha-\beta +k2\pi $ để $x\in\begin{bmatrix} \dfrac{-\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} & \end{bmatrix}$
$\Leftrightarrow \cos{x}\geq 0\Leftrightarrow \cos( \pi-\alpha -\beta )\geq 0$
$\Leftrightarrow \cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}\leq 0$
$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2m+3}}{\sqrt{m^{2}+4}}\frac{2}{\sqrt{m^{2}+4}}- \frac{m}{\sqrt{4+m^{2}}}\frac{1-m}{\sqrt{4+m^{2}}}\leq 0$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{2m+3}+m^{2}-m\leq 0$
$\Leftrightarrow 4\left(2m+3 \right )\leq m^{4}-2m^{3}+m^{2}$ Đk: $0\geq m\geq \frac{-3}{2} \vee m\geq 1$
$\Leftrightarrow \left(m+1 \right )\left(m-3 \right )\left(m^{2}+4 \right )\geq 0$
$m\geq 3 \vee m\leq -1$
kết hợp với đk ta có TH này $m \in \varnothing$
Vậy ta có $-1\leq m\leq 3$ là đk của m thỏa YCĐB
p/s: @Annie: e nói đúng rồi, thnks e
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xxSneezixx: 01-09-2013 - 20:54
- cityhuntervp và minhchau0809 thích
$$\mathfrak{Curiosity}$$
#4
Đã gửi 01-09-2013 - 20:05
Ta có đk có nghiệm của dạng bài này là:$\left(m-1 \right )^{2}\leq 2^{2}+ m^{2}$
$\Leftrightarrow m\geq \frac{-3}{2}$
pt đã cho: $2sinx+mcosx=1-m$
$\Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{4+m^{2}}}\sin{x}+ \frac{m}{\sqrt{4+m^{2}}}\cos{x}= \frac{1-m}{\sqrt{4+m^{2}}}=\sin{\alpha }$
$\Leftrightarrow \sin(\beta+ x)= \sin{\alpha}$
$\Leftrightarrow x= \alpha -\beta +k2\pi \vee x= \pi - \alpha-\beta +k2\pi \left(k \in \mathbb{Z} \right )$
Xét $x= \alpha -\beta +k2\pi$ để $x\in\begin{bmatrix} \dfrac{-\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} & \end{bmatrix}$
$\Leftrightarrow \cos{x}\geq 0\Leftrightarrow \cos( \alpha -\beta )\geq 0$
$\Leftrightarrow \cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}\geq 0$
$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2m+3}}{\sqrt{m^{2}+4}}\frac{2}{\sqrt{m^{2}+4}}+ \frac{m}{\sqrt{4+m^{2}}}\frac{1-m}{\sqrt{4+m^{2}}}\geq 0$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{2m+3}-m^{2}+m\geq 0$
$\Leftrightarrow 4\left(2m+3 \right )\geq m^{4}-2m^{3}+m^{2}$ Đk: $0\geq m\geq \frac{-3}{2} \vee m\geq 1$
$\Leftrightarrow \left(m+1 \right )\left(m-3 \right )\left(m^{2}+4 \right )\leq 0$
$\Leftrightarrow -1\leq m\leq 3$
Kết hợp với đk ban đầu ta có $1\leq m\leq 3$ là đk của m thỏa YCĐB
A ơi kết luận của a chưa đc hợp lí lắm
ĐK ban đầu của anh là $m\geq \frac{-3}{2}$ mà $\frac{-3}{2}<-1$ mà vậy thì kết quả phải là $-1\leq m\leq 3$ chứ nhỉ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnnieSally: 01-09-2013 - 20:05
- nhatquangsin, bangbang1412 và cityhuntervp thích
#5
Đã gửi 01-09-2013 - 20:14
Cách 2: $f(t)=t^{2}-4t+1-2m=0$ có nghiệm $t\in[-1;1]\Leftrightarrow g(t)=\frac{1}{2}t^{2}-2t+\frac{1}{2}=m$ có nghiệm $t\in[-1;1]$
Ta có: $g'(t)=t-2<0\forall t\in[-1;1]\Rightarrow g(t)$ nghịch biến trên $[-1;1]$
Suy ra tập giá trị $g(t)$ là đoạn $[g(1),g(-1)]\equiv [-1;3].$ Từ đó $PT$ có nghiệm
$x\in\begin{bmatrix} \dfrac{-\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} & \end{bmatrix}\Leftrightarrow g(t)=m$ có nghiệm $t\in[-1;1]\Leftrightarrow -1\leq m\leq 3$
- nhatquangsin, bangbang1412, Bich Van và 2 người khác yêu thích
#6
Đã gửi 24-11-2015 - 21:08
Do $b+c=m+(1-m)\neq 0$ nên $cos\dfrac{x}{2}=0$ không phải là nghiệm của $PT$
Đặt $t=tan\dfrac{x}{2}$ thì $PT\Leftrightarrow 2.\dfrac{2t}{1+t^{2}}+m.\dfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}}=1-m\Leftrightarrow 4t+m(1-t^{2})=(1-m)(1+t^{2})\Leftrightarrow f(t)=t^{2}-4t+1-2m=0$
Cách 1: Yêu cầu của bài toán $\Leftrightarrow f(t)=t^{2}-4t+1-2m=0$ có nghiệm $t\in[-1;1]$
Xét $f(-1)=0\Leftrightarrow 6-2m=0\Leftrightarrow m=3(TM)$
Xét $f(1)=0\Leftrightarrow -2-2m=0\Leftrightarrow m=-1(TM)$
Xét $f(t)=0$ có một nghiệm $t\in(-1;1)$ và 1 nghiệm $t\notin [-1;1]$
$\Leftrightarrow f(-1)f(1)=(6-2m)(-2-2m)< 0\Leftrightarrow (2m-6)(2m+2)<0\Leftrightarrow -1<m<3$
Xét $f(t)=0$ có 2 nghiệm $t_{1},t_{2}$ thoả mãn $-1<t_{1}\leq t_{2}<1$
$\Leftrightarrow \begin{Bmatrix} \Delta'\geq 0;1.f(-1)>0;1.f(1)>0;-1<\dfrac{S}{2}<1 & \end{Bmatrix},$ hệ này vô nghiệm
Kết luận PT có nghiệm $x\in\begin{bmatrix} \dfrac{-\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} & \end{bmatrix}\Leftrightarrow -1\leq m\leq 3$
Bạn cho mình hỏi tại sao lại có điều kiện f(-1)f(1)<0 được không?
Cảm ơn bạn nhiều
#7
Đã gửi 22-09-2018 - 17:38
.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nga712002: 22-09-2018 - 17:39
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh