Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$(\frac{a}{2a+b})^{3}+(\frac{b}{2b+c})^{3}+(\frac{c}{2c+a})^{3}\geq \frac{1}{9}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 nguyencuong123

nguyencuong123

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 587 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10A1 THPT Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An
  • Sở thích:Được người khác chia sẻ thêm nhiều kiến thức về Toán học.

Đã gửi 01-09-2013 - 23:49

1.Cho các số thực dương a,b,c sao cho $abc=1$.Chứng minh:

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+3\geq 2(a+b+c)$

2.Cho các số thực dương a,b,c .Chứng minh:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{6abc}{ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}}\geq 5$

3..Cho các số thực dương a,b,c.Chứng minh:

$\sqrt{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-2}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$

4..Cho các số thực dương a,b,c .Chứng minh:

$(\frac{a}{2a+b})^{3}+(\frac{b}{2b+c})^{3}+(\frac{c}{2c+a})^{3}\geq \frac{1}{9}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mai Duc Khai: 02-09-2013 - 07:42

    :icon12:  :icon12:  :icon12:   Bình minh tắt nắng trời vương vấn :icon12:  :icon12:  :icon12:       

      :icon12: Một cõi chơi vơi, ta với ta  :icon12:       

:nav: My Facebook  :nav:  

 


#2 Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\mathbb{THPT Chuyên Phan Bội Châu}$ $\\$

Đã gửi 02-09-2013 - 08:53

1.Cho các số thực dương a,b,c sao cho $abc=1$.Chứng minh:

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+3\geq 2(a+b+c)$

 

BĐT cần chứng minh tương đương $\sum\frac{1}{a}+3-2\sum a\ge 0$

 

Ta có $\sum\frac{1}{a^2}+3-2\sum a=\Rightarrow \sum (\frac{1}{a^2}+2a)+3-4(a+b+c)\geq 0$

Áp Dụng BĐT AM-GM ta có $\sum (\frac{1}{a^2}+2a)\geq 9 \\ \sum 4(a+b+c)\geq 12$ (do $abc=1$)

 

 $\Rightarrow \sum (\frac{1}{a^2}+2a)+3-4(a+b+c)\geq 0$

 

Ta có đpcm Dấu '=' xảy ra khi $a=b=c=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 02-09-2013 - 08:53

:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#3 nguyentrungphuc26041999

nguyentrungphuc26041999

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 406 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K43 THPT Phan Bội Châu
  • Sở thích:bóng đá, làm toán, chơi game,đủ trò

Đã gửi 02-09-2013 - 09:00

BĐT cần chứng minh tương đương $\sum\frac{1}{a}+3-2\sum a\ge 0$

 

Ta có $\sum\frac{1}{a^2}+3-2\sum a=\Rightarrow \sum (\frac{1}{a^2}+2a)+3-4(a+b+c)\geq 0$

Áp Dụng BĐT AM-GM ta có $\sum (\frac{1}{a^2}+2a)\geq 9 \\ \sum 4(a+b+c)\geq 12$ (do $abc=1$)

 

 $\Rightarrow \sum (\frac{1}{a^2}+2a)+3-4(a+b+c)\geq 0$

 

Ta có đpcm Dấu '=' xảy ra khi $a=b=c=1$

bạn nhầm chỗ mình tô đỏ



#4 phancuong123

phancuong123

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 47 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10A1 thpt chuyên PHAN BỘI CHÂU- NGHỆ AN
  • Sở thích:.............................................................

Đã gửi 03-09-2013 - 11:37

bạn nhầm chỗ mình tô đỏ

BDT$\Leftrightarrow \sum a^2b^2+3\geq\sum 2a

Ta co: b^2c^2+c^2a^2=c^2(b^2+a^2)\geq 2abc^2=2c$(1)

theo nguyen ly dirichle thì 2 trong 3 so (a-1), (b-1), (c-1) có tích không âm. không mất tính tổng quát giả sử

$(a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow ab +1 \geq a+b\Leftrightarrow (ab+1)^2\geq (a+b)^2$

Từ (1) suy ra ta cần chứng minh: $a^2b^2+3\geq2(a+b)$ mà theo bdt cauchy-schwar ta có$a^2b^2+1\geq \frac{(ab+1)^2}{2}\geq \frac{(a+b)^2}{2}$

vậy ta cần cm: $\frac{(a+b)^2}{2}+2\geq 2(a+b)\Leftrightarrow (a+b-2)^2\geq 0$.

$\Rightarrow$ dpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phancuong123: 03-09-2013 - 12:12


#5 phancuong123

phancuong123

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 47 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10A1 thpt chuyên PHAN BỘI CHÂU- NGHỆ AN
  • Sở thích:.............................................................

Đã gửi 03-09-2013 - 12:19

1.Cho các số thực dương a,b,c sao cho $abc=1$.Chứng minh:

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+3\geq 2(a+b+c)$

2.Cho các số thực dương a,b,c .Chứng minh:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{6abc}{ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}}\geq 5$

3..Cho các số thực dương a,b,c.Chứng minh:

$\sqrt{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-2}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$

4..Cho các số thực dương a,b,c .Chứng minh:

$(\frac{a}{2a+b})^{3}+(\frac{b}{2b+c})^{3}+(\frac{c}{2c+a})^{3}\geq \frac{1}{9}$

mình xin làm bài 2:

$Bdt\Leftrightarrow \frac{a^2b+b^2c+c^2a}{abc}+\frac{6abc}{a^2b+b^2c+c^2a}= (\frac{6abc}{a^2b+b^2c+c^2a}+\frac{2(a^2b+b^2c+c^2a)}{3abc})+\frac{a^2b+b^2c+c^2a}{3abc}\geq 4+\frac{3abc}{3abc}=5$(theo cô si)

 

MOD : làm bài nào thì chỉ trích dẫn bài đó


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 03-09-2013 - 15:24





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh