Đến nội dung

Hình ảnh

$(\frac{a}{2a+b})^{3}+(\frac{b}{2b+c})^{3}+(\frac{c}{2c+a})^{3}\geq \frac{1}{9}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
nguyencuong123

nguyencuong123

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 587 Bài viết

1.Cho các số thực dương a,b,c sao cho $abc=1$.Chứng minh:

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+3\geq 2(a+b+c)$

2.Cho các số thực dương a,b,c .Chứng minh:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{6abc}{ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}}\geq 5$

3..Cho các số thực dương a,b,c.Chứng minh:

$\sqrt{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-2}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$

4..Cho các số thực dương a,b,c .Chứng minh:

$(\frac{a}{2a+b})^{3}+(\frac{b}{2b+c})^{3}+(\frac{c}{2c+a})^{3}\geq \frac{1}{9}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mai Duc Khai: 02-09-2013 - 07:42

    :icon12:  :icon12:  :icon12:   Bình minh tắt nắng trời vương vấn :icon12:  :icon12:  :icon12:       

      :icon12: Một cõi chơi vơi, ta với ta  :icon12:       

:nav: My Facebook  :nav:  

 


#2
Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết

1.Cho các số thực dương a,b,c sao cho $abc=1$.Chứng minh:

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+3\geq 2(a+b+c)$

 

BĐT cần chứng minh tương đương $\sum\frac{1}{a}+3-2\sum a\ge 0$

 

Ta có $\sum\frac{1}{a^2}+3-2\sum a=\Rightarrow \sum (\frac{1}{a^2}+2a)+3-4(a+b+c)\geq 0$

Áp Dụng BĐT AM-GM ta có $\sum (\frac{1}{a^2}+2a)\geq 9 \\ \sum 4(a+b+c)\geq 12$ (do $abc=1$)

 

 $\Rightarrow \sum (\frac{1}{a^2}+2a)+3-4(a+b+c)\geq 0$

 

Ta có đpcm Dấu '=' xảy ra khi $a=b=c=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 02-09-2013 - 08:53

:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#3
nguyentrungphuc26041999

nguyentrungphuc26041999

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 406 Bài viết

BĐT cần chứng minh tương đương $\sum\frac{1}{a}+3-2\sum a\ge 0$

 

Ta có $\sum\frac{1}{a^2}+3-2\sum a=\Rightarrow \sum (\frac{1}{a^2}+2a)+3-4(a+b+c)\geq 0$

Áp Dụng BĐT AM-GM ta có $\sum (\frac{1}{a^2}+2a)\geq 9 \\ \sum 4(a+b+c)\geq 12$ (do $abc=1$)

 

 $\Rightarrow \sum (\frac{1}{a^2}+2a)+3-4(a+b+c)\geq 0$

 

Ta có đpcm Dấu '=' xảy ra khi $a=b=c=1$

bạn nhầm chỗ mình tô đỏ



#4
phancuong123

phancuong123

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 47 Bài viết

bạn nhầm chỗ mình tô đỏ

BDT$\Leftrightarrow \sum a^2b^2+3\geq\sum 2a

Ta co: b^2c^2+c^2a^2=c^2(b^2+a^2)\geq 2abc^2=2c$(1)

theo nguyen ly dirichle thì 2 trong 3 so (a-1), (b-1), (c-1) có tích không âm. không mất tính tổng quát giả sử

$(a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow ab +1 \geq a+b\Leftrightarrow (ab+1)^2\geq (a+b)^2$

Từ (1) suy ra ta cần chứng minh: $a^2b^2+3\geq2(a+b)$ mà theo bdt cauchy-schwar ta có$a^2b^2+1\geq \frac{(ab+1)^2}{2}\geq \frac{(a+b)^2}{2}$

vậy ta cần cm: $\frac{(a+b)^2}{2}+2\geq 2(a+b)\Leftrightarrow (a+b-2)^2\geq 0$.

$\Rightarrow$ dpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phancuong123: 03-09-2013 - 12:12


#5
phancuong123

phancuong123

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 47 Bài viết

1.Cho các số thực dương a,b,c sao cho $abc=1$.Chứng minh:

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+3\geq 2(a+b+c)$

2.Cho các số thực dương a,b,c .Chứng minh:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{6abc}{ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}}\geq 5$

3..Cho các số thực dương a,b,c.Chứng minh:

$\sqrt{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-2}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$

4..Cho các số thực dương a,b,c .Chứng minh:

$(\frac{a}{2a+b})^{3}+(\frac{b}{2b+c})^{3}+(\frac{c}{2c+a})^{3}\geq \frac{1}{9}$

mình xin làm bài 2:

$Bdt\Leftrightarrow \frac{a^2b+b^2c+c^2a}{abc}+\frac{6abc}{a^2b+b^2c+c^2a}= (\frac{6abc}{a^2b+b^2c+c^2a}+\frac{2(a^2b+b^2c+c^2a)}{3abc})+\frac{a^2b+b^2c+c^2a}{3abc}\geq 4+\frac{3abc}{3abc}=5$(theo cô si)

 

MOD : làm bài nào thì chỉ trích dẫn bài đó


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 03-09-2013 - 15:24





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh