Chủ đề này có 2 trả lời

[SOYA264]

Tính các tích phân sau:

1/$\int_{0}^{1}x\ln(x^2+x+1)dx$

 

2/$\int_{0}^{\Pi }\frac{xsinx}{1+cos^2x}dx$

[hihi2zz]

Tính các tích phân sau:

1/$\int_{0}^{1}x\ln(x^2+x+1)dx$

 

$u=ln(x^{2}+x+1),dv=xdx$

$\rightarrow du=\frac{2x+1}{x^2+x+1}dx,v=\frac{x^2}{2}$

$\int_{0}^{1}x\ln(x^2+x+1)dx=\frac{x^2}{2}\ln(x^2+x+1)|_0^{1}-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{(2x+1)x^2}{x^2+x+1}dx$$\int_{0}^{1}\frac{(2x+1)x^2}{x^2+x+1}dx=\int_{0}^{1}(2x-1)dx-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{2x-1}{x^2+x+1}dx-\int_{0}^{1}\frac{1}{x^2+x+1}dx$

Tính:$\int_{0}^{1}\frac{1}{x^2+x+1}dx$

$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} \tan t ...$

Hai cái kia dễ rồi 

ĐS: $\frac{1}{12}(9\ln3-\pi\sqrt{3})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hihi2zz: 02-09-2013 - 20:44

[hihi2zz]

 

 

2/$\int_{0}^{\Pi }\frac{xsinx}{1+cos^2x}dx$

 

 

$x=\pi-t \rightarrow dx=-dt$

$\int_{0}^{\pi}\frac{x\sin x}{1+\cos ^{2}x}dx=\int_{\pi}^{0}\frac{(\pi-t)\sin (\pi-t)}{1+\cos ^{2}(\pi-t)}(-dt)=\int_{0}^{\pi}\frac{(\pi-t)\sin t}{1+\cos ^{2}t}dt=\int_{0}^{\pi}\frac{(\pi-x)\sin x}{1+\cos ^{2}x}dx=\int_{0}^{\pi}\frac{\pi \sin x}{1+\cos ^{2}x}dx-\int_{0}^{\pi}\frac{x \sin x}{1+\cos ^{2}x}dx$

 

$\rightarrow$

 

$\int_{0}^{\pi }  \frac{xsinx}{1+cos^2x}dx$=$\frac{1}{2}\pi\int_{0}^{\pi}\frac{\sin x}{1+\cos ^{2}x}=$ ... $=\frac{\pi ^{2}}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hihi2zz: 02-09-2013 - 08:02